L'énergie qui s'en va : définition énergétique de $Q$

On considère un circuit RLC série en régime libre, de facteur de qualité $Q\gg 1$, et l'on note $\mathcal{E}=\frac{1}{2}L{i}^2+\frac{1}{2}C{u}_C^2$ son énergie.

1) Établir $\frac{\mathrm{d}\mathcal{E}}{\mathrm{d}t}=-R{i}^2$ à partir de la loi des mailles. Interpréter.

2) Sur une pseudo-période, l'énergie se partage en moyenne à égalité entre la bobine et le condensateur (on l'admet pour $Q\gg 1$, l'oscillation étant presque sinusoïdale). En déduire que l'énergie moyennée sur une pseudo-période vérifie $\frac{\mathrm{d}\mathcal{E}}{\mathrm{d}t}\approx -\frac{{\omega }_0}{Q}\mathcal{E}$, puis $\mathcal{E}(t)\approx {\mathcal{E}}_0{\mathrm{e}}^{-{\omega }_{0}t/Q}$. Vérifier la cohérence avec l'enveloppe ${\mathrm{e}}^{-t/\tau }$ de $u_C$, où $\tau =2Q/{\omega }_0$.

3) En déduire la définition énergétique du facteur de qualité : $Q\approx 2\pi \frac{\mathcal{E}}{|\Delta \mathcal{E}|}$, où $|\Delta \mathcal{E}|$ est l'énergie perdue en une pseudo-période.

4) Pour un RLC de $Q=10$, puis de $Q=5$, par quel facteur l'énergie est-elle divisée à chaque pseudo-période ? (On utilisera l'expression exacte de l'enveloppe, l'amplitude étant multipliée par ${\mathrm{e}}^{-2\pi /\sqrt{4Q^2-1}}$ à chaque pseudo-période.) Comparer à $2\pi /Q$.

5) Le résonateur à quartz d'une montre oscille à $f_0=32768\mathrm{Hz}$ avec $Q\sim 10^5$. Pourquoi cette fréquence ? Calculer le temps caractéristique de décroissance de l'énergie et la fraction perdue par cycle. L'énergie d'oscillation étant de l'ordre du nanojoule (ordre de grandeur donné), quelle puissance faut-il fournir pour entretenir l'oscillation ?