La charge résonante : battre les $50\%$

On veut charger un condensateur $C=1,0\mu \mathrm{F}$, initialement déchargé, à partir d'un générateur idéal de f.é.m. $E=300\mathrm{V}$. On a établi, au chapitre des circuits du premier ordre, qu'à travers une résistance seule la moitié de l'énergie fournie par le générateur est dissipée, quelle que soit la résistance. On intercale ici, en série avec le générateur et le condensateur, une bobine $L=1,0\mathrm{mH}$ et une diode. La diode est modélisée par un interrupteur idéal : fermé tant que le courant la traverse dans le sens passant (celui qui charge le condensateur), ouvert dès que le courant tenterait de s'inverser. À $t=0$, on ferme le circuit.

1) Sans résistance, établir et résoudre l'équation de $u_C$ tant que la diode conduit. À quel instant la diode se bloque-t-elle ? Que vaut alors $u_C$ ? Que devient $u_C$ ensuite ?

2) Calculer l'énergie fournie par le générateur (qui débite sous la tension constante $E$) et l'énergie stockée dans le condensateur. Conclure. Que vaut le courant maximal ?

3) Le circuit a une résistance totale $R$ et un facteur de qualité $Q>\frac{1}{2}$. On admet que, sous-amortie, la réponse du RLC série à l'échelon $E$ (condensateur initialement déchargé, courant initial nul) passe par un premier maximum $E(1+D)$ à l'instant $t_m=\pi /\Omega$, où $\Omega$ est la pseudo-pulsation et $D=\exp (-\pi /\sqrt{4Q^2-1})$ le dépassement. Montrer que la diode se bloque au premier maximum, $u_{\max }=E(1+D)$, et que le rendement de la charge vaut $\eta =\frac{1+D}{2}$. Calculer $\eta$ pour $Q=10$, $Q=1$ et $Q=0,6$.

4) Que vaut $\eta$ pour $Q\le \frac{1}{2}$ ? Retrouver le résultat de la charge à travers une résistance.

5) Où l'énergie perdue s'en va-t-elle ? Pourquoi la bobine permet-elle de ne jamais imposer une grande tension aux bornes de la résistance ?