La surtension d'une bobine limitée par une capacité parasite

Exercice de TD · niveau 2 · électricité (MPSI), chapitre 4 — Oscillations libres : circuits LC et RLC · A. L'oscillateur harmonique : le circuit LC

Énoncé

La bobine d'un relais a une inductance $L = 0, 20 H$ et une résistance $r = 40 Ω$ . Alimentée sous $E = 12 V$ continu, elle est parcourue en régime permanent par le courant $I_{0} = E / r$ . À l'instant $t = 0$ , un contact s'ouvre et isole la bobine du générateur. Il ne reste alors entre les deux bornes de la bobine que la capacité parasite de son bobinage, modélisée par un condensateur $C_{p} = 100 pF$ branché en parallèle sur la bobine : la bobine et ce condensateur forment une seule maille. On oriente le courant $i$ dans la bobine dans le sens de $I_{0}$ ; ce courant entre dans le condensateur par l'armature dont on note $u_{C}$ la tension, en convention récepteur, de sorte que $i = C_{p} \frac{d u _{C}}{d t}$ . On néglige d'abord $r$ pendant la durée étudiée.

1) Justifier que $i (0^{+}) = I_{0}$ et que $u_{C} (0^{+}) = - E$ . Pourquoi pourra-t-on prendre $u_{C} (0^{+}) \approx 0$ ?

2) Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_{C}$ et la résoudre avec ces conditions initiales.

3) Sans utiliser la solution, retrouver la tension maximale $U_{m a x}$ par un bilan d'énergie. Calculer $U_{m a x}$ , la fréquence propre $f_{0}$ et l'instant où le maximum est atteint. Commenter.

4) Vérifier qu'il était légitime de négliger $r$ (on admettra que la grandeur pertinente est le facteur de qualité $Q = \frac{1}{r} L / C$ de la maille).

5) Pour protéger le contact, on branche un condensateur $C = 0, 10 μ F$ en parallèle sur la bobine. Que deviennent $U_{m a x}$ et $f_{0}$ ?

6) Généraliser : pour un circuit LC de conditions initiales quelconques $u_{C} (0) = u_{0}$ et $i (0) = i_{0}$ , donner $u_{C} (t)$ , son amplitude $U_{m}$ et vérifier le résultat par l'énergie.

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La continuité du courant dans une bobine et de la tension aux bornes d'un condensateur (l'énergie stockée ne peut pas varier de façon discontinue sans puissance infinie), la loi des mailles, et la conservation de l'énergie dans un circuit sans résistance. La stratégie est de remarquer que la situation n'a rien de nouveau : c'est un circuit LC, mais lancé par un courant, pas par une charge.

1) Les conditions initiales, par continuité. Avant l'ouverture, la bobine est parcourue par $I_{0} = E / r = 0, 30 A$ ; l'intensité dans une bobine est continue, donc $i (0^{+}) = I_{0} = 0, 30 A$ . Avant l'ouverture, en régime permanent continu, la tension aux bornes de la bobine réelle vaut $r I_{0} = E = 12 V$ (en convention récepteur, dans le sens de $I_{0}$ ), et le condensateur parasite, branché sur les mêmes bornes, porte cette tension. Dans la maille formée après l'ouverture, le courant $i$ sort de la bobine et entre dans le condensateur : avec les deux conventions récepteur, $u_{C} = - u_{bobine}$ , donc $u_{C} (0^{-}) = - E$ , et par continuité de la tension aux bornes d'un condensateur, $u_{C} (0^{+}) = - E = - 12 V$ . On verra que les tensions qui apparaissent se comptent en kilovolts : on peut donc prendre $u_{C} (0^{+}) \approx 0$ , ce qu'on justifiera exactement à la question 6. Le courant n'a pas d'autre chemin que le condensateur : c'est lui qui va recevoir, d'un coup, le courant de $0, 30 A$ .

2) L'équation et sa solution. Dans la maille, en convention récepteur pour les deux dipôles, la loi des mailles s'écrit $u_{L} + u_{C} = 0$ avec $u_{L} = L \frac{d i}{d t}$ et $i = C_{p} \frac{d u _{C}}{d t}$ , d'où $L C_{p} \frac{d ^{2} u _{C}}{d t ^{2}} + u_{C} = 0, soit u ¨_{C} + ω_{0}^{2} u_{C} = 0, ω_{0} = \frac{1}{L C _{p}} .$ C'est l'équation de l'oscillateur harmonique. La solution générale est $u_{C} (t) = A cos ω_{0} t + B sin ω_{0} t$ . La condition $u_{C} (0^{+}) \approx 0$ donne $A = 0$ ; la condition sur le courant porte sur la dérivée : $u ˙_{C} (0^{+}) = i (0^{+}) / C_{p} = I_{0} / C_{p}$ , et $u ˙_{C} (0) = B ω_{0}$ , d'où $B = \frac{I _{0}}{C _{p} ω _{0}} = I_{0} \frac{L}{C _{p}}$ . Donc $u_{C} (t) = I_{0} \frac{L}{C _{p}} sin ω_{0} t, i (t) = I_{0} cos ω_{0} t .$

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, avec les autres exercices du chapitre et le tuteur qui guide sans donner la réponse.

Voir le corrigé complet

Gratuit : il suffit de créer un compte (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe), et tu arrives directement sur le corrigé.

Le cours du chapitre · Les autres exercices du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.