Le détecteur de métaux : sensibilité d'un oscillateur

Application directe du cours · niveau 2 · électricité (MPSI), chapitre 4 — Oscillations libres : circuits LC et RLC

Énoncé

Un détecteur de métaux contient un oscillateur LC entretenu, de fréquence $f_{0} \approx 100 kHz$ , dont la bobine est la tête de détection. Quand un objet métallique s'approche de la bobine, son inductance $L$ varie (les courants induits dans le métal s'opposent au champ de la bobine).

1) Le condensateur vaut $C = 10 nF$ . Quelle inductance faut-il ? Ces ordres de grandeur sont-ils raisonnables ?

2) Par différentiation logarithmique, relier $\frac{Δ f}{f _{0}}$ à $\frac{Δ L}{L}$ . Si $L$ diminue de $1 %$ , dans quel sens et de combien varie $f_{0}$ ?

3) Calculer le décalage exact, et contrôler l'approximation : quel est l'ordre de grandeur de l'erreur commise ?

4) Un capteur de proximité capacitif fonctionne sur le même principe, l'objet modifiant $C$ . Que donne une augmentation de $C$ de $2 %$ ?

5) L'électronique sait repérer un écart de fréquence de $10 Hz$ . Quelle variation relative de $L$ le détecteur perçoit-il ? Quelle exigence cela impose-t-il à la fréquence de référence avec laquelle on compare $f_{0}$ ?

Corrigé

1) Ordres de grandeur. $f_{0} = \frac{1}{2 π L C}$ donne $L = \frac{1}{4 π ^{2} f _{0}^{2} C} = \frac{1}{4 π ^{2} \times 1 0 ^{10} \times 1 0 ^{- 8}} \approx 2, 5 \times 1 0^{- 4} H = 0, 25 mH$ . Une bobine de quelques dizaines de spires de grand diamètre a une inductance de cet ordre ; $10 nF$ est un condensateur courant.

2) La différentiation logarithmique. On prend le logarithme de $f_{0} = (2 π)^{- 1} L^{- 1/2} C^{- 1/2}$ :

$ln f_{0} = - ln (2 π) - \frac{1}{2} ln L - \frac{1}{2} ln C, d’o u ˋ \frac{d f _{0}}{f _{0}} = - \frac{1}{2} \frac{d L}{L} - \frac{1}{2} \frac{d C}{C} .$

Pour de petites variations, on confond la différentielle et l'accroissement : $\frac{Δ f}{f _{0}} \approx - \frac{1}{2} \frac{Δ L}{L}$ . Si $L$ diminue de $1 %$ , $f_{0}$ augmente de $0, 5 %$ , soit $Δ f \approx + 500 Hz$ . Le signe est cohérent avec la physique : moins d'inertie électrique, oscillation plus rapide.

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