Mettre sous forme canonique : série, parallèle, bobine réelle

Exercice de TD · niveau 2 · électricité (MPSI), chapitre 4 — Oscillations libres : circuits LC et RLC · B. Le circuit RLC série

Énoncé

On dispose d'une bobine idéale $L = 10 mH$ , d'un condensateur $C = 1, 0 μ F$ et d'une résistance $R = 20 Ω$ . Le condensateur est initialement chargé ; on étudie le régime libre.

1) Les trois dipôles sont en série. Établir l'équation vérifiée par $u_{C}$ , la mettre sous forme canonique $u ¨_{C} + \frac{ω _{0}}{Q} u ˙_{C} + ω_{0}^{2} u_{C} = 0$ , et montrer que $Q = \frac{1}{R} \frac{L}{C} = \frac{L ω _{0}}{R} = \frac{1}{R C ω _{0}}$ . Calculer $ω_{0}$ et $Q$ .

2) Les trois dipôles sont maintenant en parallèle entre deux nœuds, de tension commune $u$ . Établir l'équation vérifiée par $u$ et identifier $ω_{0}$ et $Q$ . Calculer $Q$ avec les mêmes composants. Pourquoi les deux résultats sont-ils si différents ?

3) Une bobine réelle, modélisée par $L$ en série avec $r = 20 Ω$ , est branchée seule en parallèle sur $C$ . De quel circuit s'agit-il, en régime libre ? Quel est son facteur de qualité ?

4) On branche en plus, en parallèle sur $C$ , une résistance $R_{p} = 10 k Ω$ (une fuite, ou l'entrée d'un appareil de mesure). Établir l'équation du circuit et montrer que, pour de faibles amortissements, $\frac{1}{Q} \approx \frac{1}{Q _{s}} + \frac{1}{Q _{p}}$ , où $Q_{s}$ et $Q_{p}$ sont les facteurs de qualité qu'aurait le circuit avec la seule résistance $r$ (en série) ou la seule $R_{p}$ (en parallèle). Calculer $Q$ .

Corrigé

La méthode. On établit l'équation par les lois de Kirchhoff, on la divise pour que le coefficient de la dérivée seconde vaille $1$ , puis on identifie : le coefficient de $u$ est $ω_{0}^{2}$ , celui de $u ˙$ est $ω_{0} / Q$ . On ne retient pas de formule de $Q$ par cœur pour chaque montage ; on retient la méthode.

1) Le RLC série. La loi des mailles en régime libre, $R i + L i ˙ + u_{C} = 0$ avec $i = C u ˙_{C}$ , donne $L C u ¨_{C} + R C u ˙_{C} + u_{C} = 0$ , soit $u ¨_{C} + \frac{R}{L} u ˙_{C} + \frac{1}{L C} u_{C} = 0.$ Identification : $ω_{0} = \frac{1}{L C}$ et $\frac{ω _{0}}{Q} = \frac{R}{L}$ , d'où $Q = \frac{L ω _{0}}{R} = \frac{1}{R} \frac{L}{C}$ . Comme $L ω_{0} = \frac{L}{L C} = \frac{L}{C} = \frac{1}{C ω _{0}}$ , on a aussi $Q = \frac{1}{R C ω _{0}}$ . Numériquement, $ω_{0} = 1/ 1 0^{- 2} \times 1 0^{- 6} = 1, 0 \times 1 0^{4} rad s^{- 1}$ et $Q = \frac{100}{20} = 5$ .

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