Problème — Le décrément logarithmique

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · électricité (MPSI), chapitre 4 — Oscillations libres : circuits LC et RLC · B. Le circuit RLC série

Énoncé

Un circuit RLC série de facteur de qualité $Q > \frac{1}{2}$ est en régime libre pseudo-périodique : l'écart de $u_{C}$ à sa valeur finale s'écrit $s (t) = A e^{- t / τ} cos (Ω t + φ)$ , avec $τ = 2 Q / ω_{0}$ et $Ω = ω_{0} 1 - \frac{1}{4 Q ^{2}}$ , de pseudo-période $T = 2 π /Ω$ . On définit le décrément logarithmique $δ = ln \frac{s ( t )}{s ( t + T )}$ .

1) Montrer que $δ$ ne dépend pas de $t$ . Établir $δ = \frac{T}{τ}$ , puis l'expression exacte $δ = \frac{2 π}{4 Q ^{2} - 1}$ et l'approximation $δ \approx π / Q$ pour $Q ≫ 1$ .

2) Inverser : exprimer $Q$ en fonction de $δ$ . On relève une amplitude divisée par 2 au bout de 3 pseudo-périodes. Calculer $δ$ , $Q$ par la formule exacte et par l'approximation $π / δ$ . Quelle est l'erreur relative commise par l'approximation, en fonction de $Q$ ?

3) Au bout de combien de pseudo-périodes l'amplitude est-elle divisée par $e^{π} \approx 23$ ? Commenter la phrase « $Q$ compte les oscillations visibles ».

4) Mesure. Un générateur basse fréquence (GBF) délivrant un signal créneau, de résistance de sortie $R_{g} = 50 Ω$ , alimente en série une résistance $R = 10 Ω$ , une bobine d'inductance $L = 10 mH$ et de résistance $r$ inconnue, et un condensateur $C = 100 nF$ . La période du créneau est grande devant la durée du transitoire. Sur un palier du créneau, on relève deux maxima de l'écart $s$ séparés de deux pseudo-périodes : $4, 00 V$ puis $0, 95 V$ ; la pseudo-période vaut $T = 0, 200 ms$ . Justifier que chaque palier est un régime libre pour $s$ . En déduire $δ$ , $Q$ , la résistance totale du circuit et la résistance $r$ de la bobine. Pourquoi $T$ diffère-t-il à peine de $T_{0} = 2 π L C$ ?

5) Incertitude. Les amplitudes sont lues à $\pm 0, 05 V$ . Encadrer $Q$ . Pourquoi a-t-on intérêt à mesurer sur plusieurs pseudo-périodes plutôt que sur une seule ?

6) Homogénéité et cas limites : $Q \to \infty$ , puis $Q \to \frac{1}{2}^{+}$ . Énoncer le résultat obtenu.

Corrigé

1) Le décrément est une constante. Comme $Ω (t + T) = Ω t + 2 π$ , le cosinus reprend la même valeur une pseudo-période plus tard, et $\frac{s ( t )}{s ( t + T )} = \frac{A e ^{- t / τ} cos ( Ω t + φ )}{A e ^{- (t + T) / τ} cos ( Ω t + φ )} = e^{T / τ} .$ Le rapport ne dépend pas de $t$ (pour les instants où $s (t) \neq = 0$ , en particulier aux maxima) : $δ = T / τ$ . On remplace : $δ = \frac{2 π}{Ω} \cdot \frac{ω _{0}}{2 Q} = \frac{π}{Q 1 - \frac{1}{4 Q ^{2}}}$ , et comme $Q 1 - \frac{1}{4 Q ^{2}} = \frac{1}{2} 4 Q^{2} - 1$ , $δ = \frac{2 π}{4 Q ^{2} - 1} .$ Pour $Q ≫ 1$ , $4 Q^{2} - 1 \approx 2 Q$ et $δ \approx π / Q$ . Homogénéité : $δ$ est un logarithme de rapport de tensions, sans dimension, comme $Q$ .

2) L'inversion et le premier calcul. $4 Q^{2} - 1 = 2 π / δ$ donne $Q = \frac{1}{2} 1 + (\frac{2 π}{δ})^{2} .$ Une amplitude divisée par 2 en 3 pseudo-périodes donne $3 δ = ln 2$ , soit $δ = ln 2/3 \approx 0, 231$ . Alors $Q \approx 13, 61$ par la formule exacte, et $π / δ \approx 13, 60$ par l'approximation. L'erreur relative se calcule en écrivant $Q = \frac{π}{δ} 1 + (\frac{δ}{2 π})^{2} \approx \frac{π}{δ} (1 + \frac{δ ^{2}}{8 π ^{2}})$ : elle vaut $\frac{δ ^{2}}{8 π ^{2}} \approx \frac{1}{8 Q ^{2}}$ , soit $7 \times 1 0^{- 4}$ ici. L'approximation est excellente dès que $Q$ dépasse quelques unités.

3) Le nombre d'oscillations visibles. Au bout de $n$ pseudo-périodes, l'amplitude est multipliée par $e^{- n δ}$ . Elle est divisée par $e^{π} \approx 23$ , ce qui la rend difficile à distinguer à l'écran, quand $n δ = π$ , soit $n = π / δ \approx Q$ . Le facteur de qualité compte les oscillations visibles : c'est une estimation, mais elle donne $Q$ d'un coup d'œil, à un facteur 2 près. Pour $Q = 13, 6$ , on voit une douzaine d'oscillations.

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