Racines, régimes et durée du transitoire

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · électricité (MPSI), chapitre 4 — Oscillations libres : circuits LC et RLC · B. Le circuit RLC série

Énoncé

Un oscillateur amorti (circuit RLC série pour $u_{C}$ , ou aiguille d'un instrument de mesure pour sa déviation) obéit à $u ¨ + \frac{ω _{0}}{Q} u ˙ + ω_{0}^{2} u = 0$ . On l'écarte de sa position d'équilibre et on le lâche sans vitesse : $u (0) = u_{0}$ , $u ˙ (0) = 0$ . On appelle temps de réponse à 5 % la durée $t_{5}$ au-delà de laquelle $∣ u ∣$ reste inférieur à $0, 05 u_{0}$ .

1) Écrire le polynôme caractéristique et ses racines selon la valeur de $Q$ .

2) Cas $Q ≫ 1$ : montrer que $t_{5} \approx 2 Q ln 20/ ω_{0} \approx 6 Q / ω_{0}$ .

3) Cas $Q ≪ 1$ : montrer que l'une des racines est voisine de $- Q ω_{0}$ et que $t_{5} \approx ln 20/ (Q ω_{0}) \approx 3/ (Q ω_{0})$ .

4) Régime critique : écrire la solution et calculer $t_{5}$ . Montrer que, parmi les régimes sans dépassement ( $Q \leq \frac{1}{2}$ ), c'est le plus rapide.

5) Le script ci-dessous intègre l'équation numériquement et donne $t_{5}$ pour plusieurs valeurs de $Q$ . Commenter le tableau obtenu : pour quelle valeur de $Q$ le temps de réponse à 5 % est-il minimal, et pourquoi saute-t-il brutalement entre $Q = 0, 72$ et $Q = 0, 75$ ? On admettra que le premier dépassement de l'autre côté de l'équilibre vaut $u_{0} exp (- π / 4 Q^{2} - 1)$ (il est établi à l'exercice suivant).

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp

def temps_reponse(Q, tol=0.05):
    # u(0) = 1, du/dt(0) = 0 ; temps en unites de 1/omega0
    f = lambda t, y: [y[1], -y[1] / Q - y[0]]   # omega0 = 1
    s = solve_ivp(f, [0, 60], [1, 0], max_step=1e-3,
                  rtol=1e-10, atol=1e-12)
    dehors = np.nonzero(np.abs(s.y[0]) > tol)[0]
    return s.t[dehors[-1] + 1]   # dernier instant hors bande

for Q in (0.1, 0.3, 0.5, 0.6, 0.7, 0.72, 0.75, 1, 2, 5):
    print(f"Q = {Q:<5} t_5% = {temps_reponse(Q):5.2f} / omega0")

6) L'aiguille d'un galvanomètre a une période propre $T_{0} = 2 s$ . Combien de temps faut-il attendre pour lire la mesure à 5 % près si $Q = 5$ , si $Q = 0, 1$ , au régime critique, et si $Q \approx 0, 7$ ?

Corrigé

1) Les racines. On cherche des solutions en $e^{r t}$ : $r^{2} + \frac{ω _{0}}{Q} r + ω_{0}^{2} = 0$ , de discriminant $Δ = ω_{0}^{2} (\frac{1}{Q ^{2}} - 4)$ .

Si $Q < \frac{1}{2}$ , $Δ > 0$ : deux racines réelles négatives $r_{\pm} = \frac{ω _{0}}{2 Q} (- 1 \pm 1 - 4 Q^{2})$ , régime apériodique.
Si $Q = \frac{1}{2}$ : racine double $r = - ω_{0}$ , régime critique.
Si $Q > \frac{1}{2}$ : deux racines complexes conjuguées $r = - \frac{ω _{0}}{2 Q} \pm j Ω$ , avec $Ω = ω_{0} 1 - \frac{1}{4 Q ^{2}}$ et $j^{2} = - 1$ , régime pseudo-périodique ; la solution est $u = e^{- t / τ} (A cos Ω t + B sin Ω t)$ avec $τ = 2 Q / ω_{0}$ .

Dans tous les cas, les parties réelles des racines sont négatives : le régime libre s'éteint. Toute la question est à quelle vitesse.

2) Faible amortissement, $Q ≫ 1$ . L'oscillation reste dans l'enveloppe $u_{0} e^{- t / τ}$ (à un facteur près très voisin de 1), avec $τ = 2 Q / ω_{0}$ . Elle rentre définitivement dans la bande des 5 % quand $e^{- t / τ} \approx 0, 05$ , soit $t_{5} \approx τ ln 20 = \frac{2 Q ln 20}{ω _{0}} \approx \frac{6 Q}{ω _{0}} .$ Pour $Q = 5$ : $t_{5} \approx 30/ ω_{0}$ (la simulation donne $29, 0/ ω_{0}$ ). Le temps de réponse croît avec $Q$ : un bon oscillateur est un mauvais instrument de mesure.

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