Transférer la charge d'un condensateur à un autre par une bobine

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · électricité (MPSI), chapitre 4 — Oscillations libres : circuits LC et RLC · A. L'oscillateur harmonique : le circuit LC

Énoncé

Un condensateur $C_{1} = 1, 0 μ F$ , chargé sous $E = 10 V$ , est relié à $t = 0$ , par l'intermédiaire d'une bobine idéale $L = 10 mH$ , à un condensateur $C_{2}$ initialement déchargé : les trois dipôles forment une seule maille. On note $u_{1}$ et $u_{2}$ les tensions des condensateurs, orientées de sorte que $u_{1} (0) = E$ et $u_{2} (0) = 0$ , $q_{2} = C_{2} u_{2}$ la charge de $C_{2}$ , et $i = q ˙_{2}$ le courant qui quitte $C_{1}$ , traverse la bobine et entre dans $C_{2}$ .

On rappelle un résultat du chapitre des circuits du premier ordre : si les deux condensateurs sont reliés par une résistance, l'état final est $u_{1} = u_{2} = \frac{C _{1} E}{C _{1} + C _{2}}$ et l'énergie perdue vaut $\frac{1}{2} \frac{C _{1} C _{2}}{C _{1} + C _{2}} E^{2}$ , quelle que soit la résistance.

1) Justifier que $C_{1} u_{1} + C_{2} u_{2} = C_{1} E$ à tout instant. Établir l'équation différentielle vérifiée par $q_{2}$ et montrer qu'il s'agit d'un oscillateur harmonique de pulsation $ω_{0} = 1/ L C_{e ˊ q}$ , avec $C_{e ˊ q} = \frac{C _{1} C _{2}}{C _{1} + C _{2}}$ . Interpréter $C_{e ˊ q}$ .

2) Préciser les conditions initiales et montrer que $u_{2} (t) = \frac{C _{1} E}{C _{1} + C _{2}} (1 - cos ω_{0} t)$ .

3) Cas $C_{2} = C_{1}$ : à quel instant $t_{1} > 0$ le courant s'annule-t-il pour la première fois ? Que valent alors $u_{1}$ et $u_{2}$ ? Quelle fraction de l'énergie initiale se trouve dans $C_{2}$ ?

4) Cas $C_{2} = 3 C_{1}$ : mêmes questions ; vérifier que l'énergie totale est conservée.

5) Un interrupteur idéal ouvre la maille à l'instant $t_{1}$ . Comparer avec le transfert à travers une résistance.

6) En réalité, la bobine a une petite résistance et l'on n'ouvre pas la maille. Sans calcul, quel est l'état final ? Quelle énergie a été dissipée ? Conclure.

Corrigé

La stratégie. Une seule maille, deux condensateurs, une bobine : il y a trois réservoirs, mais la conservation de la charge lie les deux condensateurs, et il ne reste qu'un degré de liberté. On s'attend donc à un oscillateur, et c'est l'énergie qui dira s'il transfère bien.

1) Conservation de la charge et équation. Les armatures de $C_{1}$ et de $C_{2}$ reliées par la bobine forment, avec le fil, un conducteur isolé : la charge qui quitte $C_{1}$ arrive sur $C_{2}$ . Quantitativement, $i = - C_{1} u ˙_{1} = C_{2} u ˙_{2}$ , donc $\frac{d}{d t} (C_{1} u_{1} + C_{2} u_{2}) = 0$ et $C_{1} u_{1} + C_{2} u_{2} = C_{1} E$ (valeur initiale). Ainsi $u_{1} = \frac{C _{1} E - q _{2}}{C _{1}}$ et $u_{2} = \frac{q _{2}}{C _{2}}$ .

La loi des mailles, en suivant le courant de $C_{1}$ vers $C_{2}$ à travers la bobine, s'écrit $u_{1} = L \frac{d i}{d t} + u_{2}$ . En remplaçant : $L q ¨_{2} = E - \frac{q _{2}}{C _{1}} - \frac{q _{2}}{C _{2}} = E - \frac{q _{2}}{C _{e ˊ q}}, soit q ¨_{2} + ω_{0}^{2} q_{2} = ω_{0}^{2} C_{e ˊ q} E .$ C'est l'équation de l'oscillateur harmonique, avec un second membre constant, de pulsation $ω_{0} = 1/ L C_{e ˊ q}$ . Interprétation : vue de la bobine, la maille contient deux condensateurs en série, et $1/ C_{e ˊ q} = 1/ C_{1} + 1/ C_{2}$ est bien la loi d'association en série. Le second membre traduit la charge initiale de $C_{1}$ .

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