Boussole : équilibre, oscillations, magnétomètre

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · électricité (MPSI), chapitre 7 — Champ magnétique et forces de Laplace · D. Action sur un aimant ; champ tournant

Énoncé

L'aiguille d'une boussole est un petit aimant de moment $m$ (horizontal, le long de l'aiguille), mobile autour d'un axe vertical fixe $Δ$ , de moment d'inertie $J$ par rapport à cet axe ; on néglige tout frottement. Elle est plongée dans le champ terrestre, de composantes horizontale $B_{H}$ et verticale $B_{V}$ . On note $θ$ l'angle de $B_{H}$ à $m$ , et l'on admet que l'aimant subit le couple $Γ = m \land B$ , comme un cadre.

1) Montrer que seule la composante horizontale intervient dans la rotation, et que $Γ_{Δ} = - m B_{H} sin θ$ .

2) Montrer que ce couple dérive de l'énergie potentielle $E_{p} = - m \cdot B_{H}$ ; positions d'équilibre et stabilité.

3) Par le théorème du moment cinétique par rapport à l'axe fixe $Δ$ , établir l'équation du mouvement, puis la période $T$ des petites oscillations autour de l'équilibre stable.

4) Magnétomètre. Dans le seul champ terrestre, la période des petites oscillations est $T_{0} = 1, 60 s$ . On superpose, à l'aide de bobines, un champ horizontal connu $B_{1} = 3, 0 \times 1 0^{- 5} T$ de même sens que $B_{H}$ : la période devient $T_{1} = 1, 01 s$ . Montrer que ces deux mesures donnent $B_{H}$ sans connaître $m$ ni $J$ ; calculer $B_{H}$ .

5) L'aiguille, en acier, a une masse de $0, 5 g$ et une longueur de $3 cm$ ; on la modélise par une tige mince tournant autour de son milieu ( $J = \frac{1}{12} M ℓ^{2}$ ). Estimer $m$ et le comparer à l'ordre de grandeur des aimants (environ $1 A m^{2}$ par centimètre cube).

6) Qu'observe-t-on si le champ des bobines est opposé à $B_{H}$ avec $B_{1} > B_{H}$ ? Pourquoi une masse de fer voisine fausse-t-elle la mesure, et pourquoi l'aiguille n'indique-t-elle pas exactement le nord géographique ?

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le couple $m \land B$ (admis pour l'aimant par analogie avec le cadre), le théorème du moment cinétique par rapport à un axe fixe, $J θ ¨ = Γ_{Δ}$ (vu en mécanique), et l'énergie potentielle. La stratégie : réduire au seul degré de liberté $θ$ , et traiter l'aiguille comme un pendule.

1) Seule la composante horizontale agit. Avec $B = B_{H} + B_{V} u_{z}$ ( $Δ$ selon $u_{z}$ ), le moment par rapport à $Δ$ est la composante verticale de $m \land B$ . Comme $m$ est horizontal, $m \land B_{V} u_{z}$ est horizontal : sa composante verticale est nulle. Le champ vertical exerce un couple d'axe horizontal, équilibré par le pivot. Il reste $Γ_{Δ} = (m \land B_{H}) \cdot u_{z} = - m B_{H} sin θ$ (même calcul que pour le cadre). La boussole indique la direction de la composante horizontale du champ.

2) Énergie potentielle et équilibres. Avec $E_{p} (θ) = - m B_{H} cos θ$ , on a $- \frac{d E _{p}}{d θ} = - m B_{H} sin θ = Γ_{Δ}$ : la puissance du couple, $Γ_{Δ} θ ˙$ , vaut $- \frac{d E _{p}}{d t}$ . Les équilibres annulent le couple : $θ = 0$ ou $θ = π$ .

$θ = 0$ : $m$ parallèle à $B_{H}$ , $E_{p}$ minimale : équilibre stable, position de repos de la boussole.
$θ = π$ : $m$ antiparallèle, $E_{p}$ maximale : équilibre instable.

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