Champ tournant et moteur synchrone

Une bobine parcourue par $i$ crée en son centre un champ dirigé selon son axe et proportionnel à $i$ : $\vec{B}=ki\vec{u}$, où $\vec{u}$ est le vecteur unitaire de l'axe (on l'admet ; c'est une conséquence de la linéarité). Toutes les bobines ont le même centre $O$ et la même constante $k$.

1) Deux bobines d'axes ${\vec{u}}_x$ et ${\vec{u}}_y$ sont parcourues par $i_1=I_0\cos (\omega t)$ et $i_2=I_0\cos (\omega t-\pi /2)$. Montrer que le champ en $O$ a une norme constante $B_0=k{I}_0$ et tourne à la vitesse angulaire $\omega$. Et si les courants sont en phase ? Comment inverser le sens de rotation ?

2) Trois bobines ont des axes ${\vec{u}}_p$ ($p=0,1,2$) à $2\pi /3$ les uns des autres dans le plan $(xOy)$, et sont parcourues par les courants triphasés $i_p=I_0\cos (\omega t-2\pi p/3)$. Montrer que le champ en $O$ est un champ tournant de norme $\frac{3}{2}k{I}_0$.

3) Un aimant de moment $m$, mobile sans frottement autour de $(Oz)$, de moment d'inertie $J$, est placé en $O$ dans un champ tournant de norme $B_0$ ; il entraîne une charge de couple résistant constant ${\Gamma }_r$. On cherche un régime où il tourne à la vitesse $\omega$ du champ, en retard d'un angle constant $\alpha$. Montrer que $\sin \alpha =\frac{{\Gamma }_r}{m{B}_0}$. Condition d'existence ? Que se passe-t-il si l'on charge trop le moteur ?

4) Des deux valeurs possibles de $\alpha$, laquelle est stable ? (Étudier une perturbation $\alpha ={\alpha }_0+\epsilon$ par le théorème du moment cinétique.)

5) L'aimant étant initialement immobile, quel couple moyen subit-il ? Conséquence ?

6) Applications numériques : $B_0=10\mathrm{mT}$, $m=1,0\mathrm{A}{\mathrm{m}}^2$, ${\Gamma }_r=5,0\times 10^{-3}\mathrm{N}\mathrm{m}$, courants à $50\mathrm{Hz}$ : vitesse en tours par minute, retard, puissance fournie à la charge.