Deux fils parallèles et l'ancien ampère

Application directe du cours · niveau 2 · électricité (MPSI), chapitre 7 — Champ magnétique et forces de Laplace

Énoncé

Deux fils rectilignes infinis parallèles, distants de $d$ , sont parcourus par $I_{1}$ et $I_{2}$ . On admet que le fil 1 crée, à la distance $r$ de son axe, un champ orthoradial de norme $B_{1} = \frac{μ _{0} I _{1}}{2 π r}$ , orienté par la règle de la main droite ( $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} T m A^{- 1}$ ).

1) Quel est le champ subi par le fil 2 ? Exprimer la force linéique $f_{1 \to 2}$ exercée par le fil 1 sur le fil 2. Attraction ou répulsion, pour des courants de même sens ? de sens contraires ?

2) Vérifier la cohérence avec le principe des actions réciproques, et l'homogénéité.

3) De 1948 à 2019, l'ampère était défini ainsi : l'intensité d'un courant constant qui, maintenu dans deux conducteurs parallèles, rectilignes, de longueur infinie, de section négligeable et placés à un mètre l'un de l'autre dans le vide, produit entre eux une force de $2 \times 1 0^{- 7}$ newton par mètre de longueur. Montrer que cette définition fixe la valeur de $μ_{0}$ . Quelle masse a un poids égal à cette force sur un mètre ? Que devient la force si l'on double les deux courants ?

4) Ordres de grandeur. (a) Les câbles aller et retour d'un démarreur de voiture, distants de $1 cm$ , transportent $200 A$ : force linéique, comparée au poids d'un câble (environ $0, 5 kg$ par mètre). (b) Lors d'un court-circuit dans un tableau électrique industriel, des barres de cuivre parallèles distantes de $10 cm$ peuvent être parcourues par une intensité de l'ordre de $20 kA$ : force linéique, et conséquence pratique.

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. L'expression donnée du champ d'un fil (le programme demande d'« évaluer un champ à partir d'expressions fournies ») et la force de Laplace. La stratégie : identifier le champ subi, puis n'appliquer la force qu'avec lui.

1) Champ subi et force. Le fil 2 subit le champ du fil 1 ; son propre champ est exclu (un conducteur ne subit jamais le champ qu'il crée lui-même : les forces intérieures se compensent). Le fil 1 est sur l'axe $(O z)$ , le fil 2 passe par le point d'abscisse $x = d$ de $(O x)$ , les courants sont comptés selon $u_{z}$ . Au niveau du fil 2, le vecteur orthoradial du fil 1 est $u_{y}$ :

$B_{1} = \frac{μ _{0} I _{1}}{2 π d} u_{y},$

uniforme le long du fil 2. Un tronçon de longueur $ℓ$ subit donc $F = I_{2} ℓ u_{z} \land B_{1}$ , d'où

$f_{1 \to 2} = - \frac{μ _{0} I _{1} I _{2}}{2 π d} u_{x} .$

$I_{1} I_{2} > 0$ (même sens) : force vers le fil 1, les fils s'attirent ;
$I_{1} I_{2} < 0$ (sens contraires) : ils se repoussent.

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