Du magnéton de Bohr à l'aimant

Exercice de TD · niveau 2 · électricité (MPSI), chapitre 7 — Champ magnétique et forces de Laplace · A. Le champ magnétique

Énoncé

Le moment magnétique d'une boucle plane d'aire $S$ parcourue par $I$ est $m = I S n$ . Données : $e = 1, 60 \times 1 0^{- 19} C$ , $c = 3, 00 \times 1 0^{8} m s^{- 1}$ , $N_{A} = 6, 02 \times 1 0^{23} mo l^{- 1}$ .

1) Dans le modèle de Bohr, l'électron de l'atome d'hydrogène décrit un cercle de rayon $a_{0} = 52, 9 pm$ à la vitesse $v = α c$ , avec $α = 1/137$ . Quelle intensité $I$ représente ce mouvement ? Montrer que le moment magnétique orbital vaut $m = \frac{e v a _{0}}{2}$ , vérifier qu'il vaut $μ_{B} \approx 9, 27 \times 1 0^{- 24} A m^{2}$ (le magnéton de Bohr) et vérifier l'homogénéité.

2) Dans le fer ( $ρ = 7, 87 \times 1 0^{3} kg m^{- 3}$ , $M = 55, 8 g mo l^{- 1}$ ), chaque atome porte un moment d'environ $2, 2 μ_{B}$ . Estimer le moment magnétique maximal d'un cube de fer de $1 c m^{3}$ dont tous les moments atomiques seraient alignés.

3) Quelle intensité devrait parcourir une spire de rayon $0, 5 cm$ pour avoir le même moment ? Commenter.

4) Le moment magnétique terrestre vaut environ $8 \times 1 0^{22} A m^{2}$ . Quelle intensité, circulant sur une boucle du rayon du noyau terrestre ( $\approx 3500 km$ ), le reproduirait ?

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition $m = I S n$ et celle de l'intensité, charge traversant une section par unité de temps. La stratégie : remonter d'échelle — de l'électron à l'atome, au morceau de fer, à la planète — en gardant le même objet, la boucle de courant.

1) L'électron comme courant. L'électron fait un tour en $T = \frac{2 π a _{0}}{v}$ ; un point fixe de l'orbite voit passer la charge $e$ (en valeur absolue) une fois par période : $I = \frac{e}{T} = \frac{e v}{2 π a _{0}} = \frac{1 , 60 \times 1 0 ^{- 19} \times 2 , 19 \times 1 0 ^{6}}{2 π \times 52 , 9 \times 1 0 ^{- 12}} \approx 1, 05 \times 1 0^{- 3} A,$ avec $v = α c \approx 2, 19 \times 1 0^{6} m s^{- 1}$ . Un milliampère, porté par un seul électron, parce qu'il fait de l'ordre de $1 0^{16}$ tours par seconde. Le moment vaut $m = I π a_{0}^{2} = \frac{e v}{2 π a _{0}} π a_{0}^{2} = \frac{e v a _{0}}{2} \approx \frac{1 , 60 \times 1 0 ^{- 19} \times 2 , 19 \times 1 0 ^{6} \times 52 , 9 \times 1 0 ^{- 12}}{2} \approx 9, 27 \times 1 0^{- 24} A m^{2} :$ c'est le magnéton de Bohr. L'électron étant négatif, le courant tourne en sens inverse de son mouvement. Homogénéité : $e v a_{0}$ s'exprime en $C \times m s^{- 1} \times m = A m^{2}$ .

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