Établir le couple sur un cadre

Un cadre rectangulaire de $N=50$ spires, de côtés $a=4\mathrm{cm}$ (parallèles à l'axe $\Delta$) et $b=3\mathrm{cm}$, parcouru par $I=0,2\mathrm{A}$, peut tourner autour de l'axe fixe $\Delta =(Oz)$ qui passe par les milieux de ses deux côtés de longueur $b$. Il est placé dans le champ uniforme et stationnaire $\vec{B}=B{\vec{u}}_x$ ($B=0,1\mathrm{T}$), orthogonal à $\Delta$. La normale $\vec{n}$ au cadre est orientée par le courant (main droite), et $\vec{n}=\cos \theta {\vec{u}}_x+\sin \theta {\vec{u}}_y$.

1) Calculer les forces de Laplace sur les quatre côtés ; montrer que leur résultante est nulle.

2) Montrer que les forces sur les côtés de longueur $b$ ont un moment nul par rapport à $\Delta$, et que celles sur les côtés de longueur $a$ ont un moment total ${\Gamma }_z=-NIabB\sin \theta$. En déduire $\vec{\Gamma }=\vec{m}\wedge \vec{B}$ avec $\vec{m}=NIab\vec{n}$.

3) Justifier que ce moment ne dépend pas du point par rapport auquel on le calcule.

4) Valeurs numériques de $m$ et de ${\Gamma }_{\max }$.

5) Le cadre tourne à $\omega =\dot{\theta }$. Exprimer la puissance des actions de Laplace de deux façons (par le couple, puis par les forces et les vitesses des côtés) ; discuter son signe selon que $\theta$ s'éloigne de $0$ ou y revient.