La direction du champ sans calcul

On admet les deux règles suivantes, propres au champ magnétique (elles sont inverses de celles du champ électrique) :

• si un plan $\Pi$ est un plan de symétrie de la distribution de courants, le champ $\vec{B}$ en tout point de $\Pi$ est perpendiculaire à $\Pi$ ;
• si $\Pi$ est un plan d'antisymétrie (la symétrie par rapport à $\Pi$ change le sens de tous les courants), le champ $\vec{B}$ en tout point de $\Pi$ est contenu dans $\Pi$.

Une invariance de la distribution (translation, rotation) se retrouve sur le champ. Dans chacun des cas suivants, prévoir sans calcul la direction de $\vec{B}$ et les coordonnées dont dépend sa norme.

a) Un fil rectiligne infini d'axe $(Oz)$ parcouru par $I$ (coordonnées cylindriques $r,\theta ,z$). On donne $B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$, avec ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\mathrm{T}\mathrm{m}{\mathrm{A}}^{-1}$ : calculer $B$ à $1\mathrm{cm}$ d'un fil parcouru par $10\mathrm{A}$ et le comparer au champ terrestre.

b) Une spire circulaire d'axe $(Oz)$, en un point de l'axe ; montrer en outre que la composante axiale prend la même valeur en deux points de l'axe symétriques par rapport au plan de la spire.

c) Une bobine longue (assimilée à un solénoïde infini) d'axe $(Oz)$, en un point intérieur. On admet que le champ intérieur vaut $B={\mu }_{0}nI$ ($n$ : nombre de spires par mètre) : ordre de grandeur pour $n=1000{\mathrm{m}}^{-1}$ et $I=1\mathrm{A}$.

d) Deux fils infinis parallèles à $(Oz)$, en $x=-a$ et $x=+a$ (dans le plan $y=0$), parcourus par des courants opposés : direction de $\vec{B}$ en un point du plan $x=0$. Que change le cas de deux courants de même sens ?

e) Sur la carte de champ d'un aimant droit, où sont les zones de champ intense, de champ faible ? Le champ y est-il uniforme quelque part ? Comparer à la carte d'une bobine longue, et dire où sont les sources.