Le canon électromagnétique

Exercice de TD · niveau 2 · électricité (MPSI), chapitre 7 — Champ magnétique et forces de Laplace · B. La force de Laplace

Énoncé

Un canon électromagnétique (« railgun ») est formé de deux rails conducteurs rectilignes et parallèles, de longueur $D = 10 m$ , distants de $L = 0, 10 m$ . Un projectile conducteur de masse $m = 2, 0 kg$ ferme le circuit entre les rails et glisse sans frottement. Un générateur branché à l'arrière impose un courant $I = 1, 0 \times 1 0^{6} A$ , supposé constant : le courant part par le rail supérieur, traverse le projectile perpendiculairement aux rails, et revient par le rail inférieur. Le champ subi par le projectile est créé par le courant des rails eux-mêmes ; il est perpendiculaire au plan des rails, et l'on prend pour sa valeur moyenne au niveau du projectile $B = 10 T$ (valeur de modèle).

1) Déterminer le sens du champ au niveau du projectile, puis celui de la force de Laplace. Ce sens dépend-il du sens du courant ? Comparer au cas d'un champ créé par un aimant.

2) Calculer la force et l'accélération du projectile (en multiples de $g$ ).

3) La force étant supposée constante, calculer la vitesse de sortie et la durée du tir.

4) Exprimer la puissance des forces de Laplace en fonction du temps ; valeurs moyenne et maximale. Vérifier que le travail de la force égale l'énergie cinétique finale ; comparer cette énergie à des références familières.

5) Les rails parcourus par des courants opposés exercent l'un sur l'autre une force : l'estimer par unité de longueur en les assimilant à deux fils infinis distants de $L$ . Pourquoi un tel canon est-il si difficile à réaliser ?

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La résultante sur une barre en champ uniforme, $F = I ℓ \land B$ (avec la valeur moyenne de $B$ ), la puissance $P = F \cdot v$ , le principe fondamental de la dynamique et le théorème de l'énergie cinétique. La stratégie : orienter avec soin, puis enchaîner les grandeurs mécaniques.

1) Les sens. $u_{x}$ est le long des rails, du générateur vers la bouche ; le rail supérieur est en $y = + L /2$ , l'inférieur en $y = - L /2$ ; $u_{z}$ sort du plan des rails.

Le champ. Le rail supérieur porte $I$ selon $+ u_{x}$ ; en un point situé sous lui, la main droite donne un champ selon $- u_{z}$ . Le rail inférieur porte $I$ selon $- u_{x}$ ; en un point au-dessus de lui, son champ est aussi selon $- u_{z}$ . Entre les rails, $B = - B u_{z}$ .

La force. Dans le projectile, le courant va selon $- u_{y}$ : $F = I L (- u_{y}) \land (- B u_{z}) = I L B u_{x} :$ le projectile est poussé vers la bouche du canon.

Le sens du courant n'y fait rien. Inverser le courant inverse aussi le champ des rails, proportionnel à $I$ : la force, proportionnelle à $I B$ donc à $I^{2}$ , garde son sens. Avec un champ d'aimant, au contraire, $B$ ne dépend pas de $I$ et la force change de sens avec le courant — c'est ce qui fait vibrer la membrane d'un haut-parleur.

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