Pourquoi un collecteur

Application directe du cours · niveau 2 · électricité (MPSI), chapitre 7 — Champ magnétique et forces de Laplace

Énoncé

Un cadre de moment magnétique $m$ est mobile autour d'un axe orthogonal à un champ uniforme $B$ ; le moment du couple de Laplace par rapport à l'axe est $Γ_{z} = - m B sin θ$ , où $θ$ est l'angle de $B$ à $m$ . On veut que le cadre tourne indéfiniment dans le sens des $θ$ croissants en entraînant une charge.

1) Le cadre est alimenté par un courant continu de sens fixe. Valeur moyenne de $Γ_{z}$ sur un tour ? Que fait le cadre lâché sans vitesse ? lancé à grande vitesse, avec frottements ?

2) Un collecteur (deux demi-bagues solidaires du cadre, frottant sur deux balais fixes reliés au générateur) inverse le courant dans le cadre à chaque demi-tour. Pour quelles positions faut-il placer les commutations ? Exprimer $Γ_{z} (θ)$ et sa moyenne.

3) Le rotor comporte deux cadres identiques perpendiculaires, chacun muni de son collecteur. Montrer que le couple vaut $m B (∣ sin θ ∣ + ∣ cos θ ∣)$ ; valeurs extrêmes, valeur moyenne, ondulation comparée à celle d'un cadre unique.

4) Avec $m = 1, 2 \times 1 0^{- 2} A m^{2}$ et $B = 0, 1 T$ : couple moyen d'un cadre avec collecteur, et puissance moyenne à $3000 tr mi n^{- 1}$ .

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le couple $Γ_{z} = - m B sin θ$ sur un cadre (le moment $m \land B$ projeté sur l'axe), la puissance $Γ_{z} ω$ et l'énergie potentielle $E_{p} = - m B cos θ$ . La stratégie : suivre le signe du couple sur un tour, puis moyenner.

1) Sans collecteur.

$⟨ Γ_{z} ⟩ = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} (- m B sin θ) d θ = 0.$

Sur un demi-tour le couple freine, sur l'autre il entraîne : ce que le champ donne d'un côté, il le reprend de l'autre. Lâché sans vitesse, le cadre oscille autour de l'équilibre stable $θ = 0$ et s'y arrête par frottement. Lancé vite, il fait des tours, mais le travail du couple sur un tour est nul ( $E_{p}$ reprend sa valeur) : rien ne compense les frottements, il ralentit et finit immobile en $θ = 0$ . Un cadre alimenté en continu n'est pas un moteur.

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