Problème : les bobines de Helmholtz

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · électricité (MPSI), chapitre 7 — Champ magnétique et forces de Laplace · A. Le champ magnétique

Énoncé

Une bobine plate de $N$ spires circulaires de rayon $R$ , d'axe $(O z)$ , centrée au point d'abscisse $z_{0}$ et parcourue par $I$ , crée sur son axe le champ (admis) $B (z) = \frac{μ _{0} N I}{2} \frac{R ^{2}}{( R ^{2} + ( z - z _{0} ) ^{2} ) ^{3/2}} u_{z} .$ On place deux bobines identiques, parcourues dans le même sens par le même courant $I$ , centrées en $z = - d /2$ et $z = + d /2$ . On note $B (z)$ la composante axiale du champ total sur l'axe.

1) Justifier par les symétries que, sur l'axe, le champ total est porté par $u_{z}$ et que $B (- z) = B (z)$ .

2) Écrire $B (z)$ .

3) Montrer que $\frac{d B}{d z} (0) = 0$ pour toute distance $d$ . Calculer $\frac{d ^{2} B}{d z ^{2}} (0)$ et montrer qu'il est du signe de $d^{2} - R^{2}$ . Interpréter les cas $d < R$ , $d = R$ , $d > R$ .

4) On choisit $d = R$ (configuration de Helmholtz). Montrer que $B_{0} = B (0) = (\frac{4}{5})^{3/2} \frac{μ _{0} N I}{R}$ . Application : $R = 10 cm$ , $N = 100$ , $I = 1 A$ ; comparer au champ terrestre ( $\approx 2 \times 1 0^{- 5} T$ en composante horizontale).

5) On admet, pour $d = R$ , le développement limité $\frac{B ( z )}{B _{0}} = 1 - \frac{144}{125} (\frac{z}{R})^{4} + o ((\frac{z}{R})^{4})$ . Pourquoi n'y a-t-il ni terme en $z$ , ni en $z^{2}$ , ni en $z^{3}$ ? Sur quelle longueur autour du centre le champ est-il uniforme à $1 0^{- 3}$ près ? Comparer à une seule bobine au voisinage de son centre.

6) Vérifier l'homogénéité de $B_{0}$ ; donner le comportement de $B (z)$ pour $∣ z ∣ ≫ R$ et l'interpréter. Énoncer le résultat établi.

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. L'expression donnée du champ d'une bobine sur son axe (le programme exclut Biot et Savart, pas l'exploitation d'une expression fournie), les règles de symétrie de l'exercice 1, la superposition et les développements limités. La stratégie : les symétries d'abord, qui réduisent l'étude au signe d'une seule dérivée seconde ; le calcul ensuite.

1) Symétries. Tout plan contenant l'axe est un plan d'antisymétrie de chaque bobine, donc de l'ensemble : sur l'axe, le champ est contenu dans tous ces plans, donc porté par l'axe, $B = B (z) u_{z}$ . Le plan médian $z = 0$ échange les deux bobines ; parcourues dans le même sens, l'image de chacune est l'autre avec son courant réel : c'est un plan de symétrie. La composante perpendiculaire à ce plan est conservée (exercice 1, b) : $B (- z) = B (z)$ .

2) Le champ total. Par superposition, avec $f (u) = (R^{2} + u^{2})^{- 3/2}$ : $B (z) = \frac{μ _{0} N I R ^{2}}{2} [f (z - \frac{d}{2}) + f (z + \frac{d}{2})] .$ $f$ étant paire, changer $z$ en $- z$ échange les deux termes : on retrouve la parité.

3) Les dérivées au centre.

La dérivée première. $B$ est paire, sa dérivée est impaire, donc nulle en $0$ : $\frac{d B}{d z} (0) = 0$ pour tout $d$ . Le centre est toujours un point stationnaire ; reste à savoir s'il s'agit d'un maximum, d'un minimum, ou mieux.

La dérivée seconde. On dérive $f$ deux fois : $f^{'} (u) = - 3 u (R^{2} + u^{2})^{- 5/2},$ $f^{''} (u) = - 3 (R^{2} + u^{2})^{- 5/2} + 15 u^{2} (R^{2} + u^{2})^{- 7/2} = \frac{3 ( 4 u ^{2} - R ^{2} )}{( R ^{2} + u ^{2} ) ^{7/2}} .$ $f^{''}$ étant paire, $f^{''} (- d /2) = f^{''} (d /2)$ et $\frac{d ^{2} B}{d z ^{2}} (0) = \frac{μ _{0} N I R ^{2}}{2} \cdot 2 f^{''} (\frac{d}{2}) = \frac{3 μ _{0} N I R ^{2} ( d ^{2} - R ^{2} )}{( R ^{2} + d ^{2} /4 ) ^{7/2}} .$ Tous les facteurs sont positifs sauf $d^{2} - R^{2}$ : la dérivée seconde au centre est du signe de $d^{2} - R^{2}$ .

$d < R$ : maximum au centre ; les deux bosses (chaque bobine donne un champ maximal en son centre) se fondent en une seule.
$d > R$ : minimum local au centre, entre deux maxima proches des bobines : deux bosses et un creux.
$d = R$ : la transition entre une bosse et deux ; la courbe est aussi plate que possible au centre.

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