Résultante sur un circuit fermé, fil courbé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La force élémentaire, la linéarité de l'intégrale, la bilinéarité du produit vectoriel. La stratégie : sortir $\vec{B}$ de l'intégrale, ce que permet son uniformité, et seulement elle.

1) Le circuit fermé. Le courant $I$ est le même en tout point (régime stationnaire, pas de dérivation), et $\vec{B}$ ne dépend pas du point :

$$\begin{array}{rl}\vec{F}& =\oint I\mathrm{d}\vec{\ell }\wedge \vec{B}\\ & =I\left(\oint \mathrm{d}\vec{\ell }\right)\wedge \vec{B}.\end{array}$$

Or $\oint \mathrm{d}\vec{\ell }$ est la somme des déplacements élémentaires qui font parcourir le circuit une fois, d'un point $P$ jusqu'à $P$ : c'est $\overrightarrow{PP}=\vec{0}$. La résultante est nulle.

Le point délicat. L'uniformité est indispensable : dans un champ non uniforme, un circuit fermé subit en général une résultante — c'est ainsi qu'un aimant attire une petite bobine, ou un clou, vers la zone de champ intense.

2) La portion de fil. Le même calcul donne

$$\begin{array}{rl}\vec{F}& =I\left({\int }_A^C\mathrm{d}\vec{\ell }\right)\wedge \vec{B}\\ & =I\overrightarrow{AC}\wedge \vec{B},\end{array}$$