Circuits couplés en régime sinusoïdal : l'impédance ramenée

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · électricité (MPSI), chapitre 8 — Les lois de l'induction

Énoncé

Un circuit primaire comprend, en série, un générateur idéal de f.é.m. sinusoïdale $e_{g} (t)$ (amplitude complexe $E$ , pulsation $ω$ ), une résistance $R_{1}$ et une bobine d'inductance $L_{1}$ . Un circuit secondaire fermé comprend une bobine d'inductance $L_{2}$ et une résistance $R_{2}$ (la charge). Les deux bobines sont couplées par la mutuelle $M$ ; chaque circuit est orienté dans le sens de son courant, $i_{1}$ et $i_{2}$ , d'amplitudes complexes $I_{1}$ et $I_{2}$ . Le régime sinusoïdal forcé est établi.

1) Dessiner, en le décrivant, le schéma électrique équivalent de chaque circuit, et établir le système de deux équations reliant $E$ , $I_{1}$ et $I_{2}$ .

2) Exprimer $I_{2}$ en fonction de $I_{1}$ , puis l'impédance vue par le générateur, $Z = E / I_{1}$ . Montrer qu'elle s'écrit $Z = R_{1} + j L_{1} ω + Z_{r}$ , et interpréter l'impédance ramenée $Z_{r} = \frac{M ^{2} ω ^{2}}{R _{2} + j L _{2} ω}$ .

3) Séparer partie réelle et partie imaginaire de $Z_{r}$ . Montrer que la puissance moyenne absorbée par la partie réelle de $Z_{r}$ est exactement la puissance Joule moyenne dissipée dans $R_{2}$ . Que traduit le signe de la partie imaginaire ?

4) Cas limites : secondaire ouvert ( $R_{2} \to \infty$ ), secondaire en court-circuit ( $R_{2} \to 0$ ). À amplitude $∣ I_{1} ∣$ fixée, pour quelle valeur de $R_{2}$ la puissance transférée au secondaire est-elle maximale ? Que vaut-elle ?

5) Applications. a) Un badge sans contact (identification par radiofréquence) est lu à la fréquence $f = 13, 56 MHz$ ; le lecteur impose dans sa bobine un courant d'amplitude $0, 30 A$ , la bobine du badge a une inductance $L_{2} = 2, 0 μ H$ , et la mutuelle vaut $M = 0, 10 μ H$ quand le badge est posé sur le lecteur. Calculer l'amplitude de la f.é.m. induite dans le badge, et la puissance maximale transférable. Pourquoi faut-il approcher le badge très près ? Pourquoi une fréquence aussi élevée ? b) Une plaque de cuisson à induction alimente sa bobine à environ $25 kHz$ ; le fond de la casserole joue le rôle du secondaire. Expliquer qualitativement, à l'aide du 4), pourquoi la plaque détecte l'absence de casserole et pourquoi le choix du métal compte.

Corrigé

La stratégie. On remplace chaque couplage par ce qu'il produit dans l'autre circuit : une f.é.m. de mutuelle. Le système obtenu est linéaire ; on élimine le courant du secondaire pour voir ce que le générateur « ressent ».

1) Le schéma équivalent et le système. Le flux à travers le primaire est $L_{1} i_{1} + M i_{2}$ , celui à travers le secondaire $L_{2} i_{2} + M i_{1}$ . Le schéma équivalent du primaire est une maille : $e_{g}$ , $R_{1}$ , la bobine $L_{1}$ en convention récepteur, et un générateur de f.é.m. $- M \frac{d i _{2}}{d t}$ qui représente le secondaire ; celui du secondaire : $R_{2}$ , $L_{2}$ et un générateur de f.é.m. $- M \frac{d i _{1}}{d t}$ . En notation complexe, la dérivation devient la multiplication par $j ω$ :

$E = (R_{1} + j L_{1} ω) I_{1} + j M ω I_{2},$

$0 = j M ω I_{1} + (R_{2} + j L_{2} ω) I_{2} .$

2) L'impédance ramenée. La seconde équation donne

$I_{2} = - \frac{j M ω}{R _{2} + j L _{2} ω} I_{1},$

que l'on reporte dans la première :

$E = (R_{1} + j L_{1} ω - \frac{( j M ω ) ^{2}}{R _{2} + j L _{2} ω}) I_{1} = (R_{1} + j L_{1} ω + \frac{M ^{2} ω ^{2}}{R _{2} + j L _{2} ω}) I_{1},$

puisque $j^{2} = - 1$ . Donc $Z = R_{1} + j L_{1} ω + Z_{r}$ avec $Z_{r} = \frac{M ^{2} ω ^{2}}{R _{2} + j L _{2} ω}$ .

Interprétation. Pour le générateur, tout se passe comme si le secondaire était remplacé par une impédance $Z_{r}$ placée en série dans le primaire : le secondaire est « ramené » au primaire. Aucun fil ne relie les circuits, mais le générateur ressent la charge à travers le flux. Homogénéité : $M ω$ est une impédance (en ohms), comme $R_{2} + j L_{2} ω$ ; leur quotient $(M ω)^{2} / (R_{2} + j L_{2} ω)$ est bien une impédance.

3) Partie réelle, partie imaginaire, puissance. En multipliant par la quantité conjuguée :

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