Énergie de deux circuits couplés

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · électricité (MPSI), chapitre 8 — Les lois de l'induction · E. Inductance mutuelle et transformateur

Énoncé

Deux circuits fixes, de résistances $R_{1}$ et $R_{2}$ , d'inductances propres $L_{1}$ et $L_{2}$ et de mutuelle $M$ , sont alimentés chacun par un générateur idéal de f.é.m. $E_{1} (t)$ et $E_{2} (t)$ . Chaque circuit est orienté dans le sens de son courant $i_{k}$ , et chaque générateur est en convention générateur dans ce sens.

1) Écrire les deux équations électriques, en partant des flux à travers chaque circuit.

2) Multiplier la première par $i_{1}$ , la seconde par $i_{2}$ , sommer, et montrer que $E_{1} i_{1} + E_{2} i_{2} = R_{1} i_{1}^{2} + R_{2} i_{2}^{2} + \frac{d W}{d t}, W = \frac{1}{2} L_{1} i_{1}^{2} + M i_{1} i_{2} + \frac{1}{2} L_{2} i_{2}^{2} .$ Interpréter chaque terme.

3) On admet que l'énergie magnétique $W$ est positive quels que soient $i_{1}$ et $i_{2}$ . En étudiant $W$ comme un trinôme en $x = i_{1} / i_{2}$ , en déduire $M^{2} \leq L_{1} L_{2}$ . Dans quel cas y a-t-il égalité ? Que vaut alors le champ magnétique pour les courants qui annulent $W$ ?

4) Les deux bobines, branchées en série « opposée » (parcourues par le même courant, la seconde à contresens de son orientation), forment une bobine unique d'inductance $L_{-} = L_{1} + L_{2} - 2 M$ . Retrouver $L_{-} \geq 0$ comme cas particulier, montrer que le 3) donne une borne plus forte, et vérifier le tout avec $L_{1} = 40 mH$ , $L_{2} = 10 mH$ et $M = 17, 5 mH$ .

Corrigé

1) Les deux équations. Le flux à travers le circuit 1 est la somme de son flux propre et du flux envoyé par le circuit 2 : $Φ_{1} = L_{1} i_{1} + M i_{2}$ . La f.é.m. induite dans le circuit 1, orientée dans le sens de $i_{1}$ , est $e_{1} = - \frac{d Φ _{1}}{d t}$ . Le schéma équivalent du circuit 1 est une maille comprenant le générateur $E_{1}$ , le générateur induit $e_{1}$ et la résistance $R_{1}$ ; la loi des mailles s'écrit $E_{1} + e_{1} = R_{1} i_{1}$ , soit $E_{1} = R_{1} i_{1} + L_{1} \frac{d i _{1}}{d t} + M \frac{d i _{2}}{d t}, E_{2} = R_{2} i_{2} + L_{2} \frac{d i _{2}}{d t} + M \frac{d i _{1}}{d t} .$ Les circuits sont fixes et les inductances constantes : on a pu les sortir des dérivées.

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