Inductance et énergie d'une bobine longue

Une bobine longue de $N=500$ spires, de longueur $\ell =25\mathrm{cm}$ et de rayon $r=2,0\mathrm{cm}$, est parcourue par le courant $i$. On admet que le champ intérieur est uniforme, $B={\mu }_0\frac{N}{\ell }i$, dirigé selon l'axe, et que le champ extérieur est négligeable.

1) Exprimer le flux propre de la bobine et en déduire son inductance $L={\mu }_0\frac{N^{2}S}{\ell }$, où $S=\pi r^2$. Pourquoi $L$ est-elle proportionnelle à $N^2$ et non à $N$ ? Vérifier l'homogénéité, sachant que ${\mu }_0$ s'exprime en $\mathrm{H}{\mathrm{m}}^{-1}$.

2) Calculer $L$. Avec un noyau de fer doux de perméabilité relative ${\mu }_r\approx 10^3$ (on admet que le champ intérieur est alors multiplié par ${\mu }_r$), que devient $L$ ? Situer ces valeurs par rapport aux bobines de travaux pratiques.

3) Pour $i=2,0\mathrm{A}$ (bobine sans noyau), calculer $B$ et l'énergie $\frac{1}{2}L{i}^2$.

4) Montrer que $\frac{1}{2}L{i}^2=\frac{B^2}{2{\mu }_0}\times (S\ell )$. Interpréter. Quel ordre de grandeur d'énergie stocke l'aimant supraconducteur d'un appareil d'imagerie par résonance magnétique, où règne un champ de $1,5$ T dans un volume de l'ordre du mètre cube ?