Mesurer une inductance mutuelle

Application directe du cours · niveau 2 · électricité (MPSI), chapitre 8 — Les lois de l'induction

Énoncé

Deux bobines d'inductances propres $L_{1}$ et $L_{2}$ , de résistances $r_{1}$ et $r_{2}$ , couplées par une mutuelle $M$ , sont branchées en série et parcourues par le même courant $i$ .

1) Montrer que l'association se comporte comme une bobine unique d'inductance $L_{+} = L_{1} + L_{2} + 2 M$ ou $L_{-} = L_{1} + L_{2} - 2 M$ selon le sens de branchement de la seconde bobine.

2) On mesure les deux inductances par la constante de temps d'un circuit $R L$ série alimenté par un échelon de tension, et l'on trouve $L_{+} = 85 mH$ et $L_{-} = 15 mH$ . En déduire $∣ M ∣$ et $L_{1} + L_{2}$ .

3) Sachant de plus que $L_{1} = 40 mH$ et $L_{2} = 10 mH$ , calculer le coefficient de couplage $k = \frac{∣ M ∣}{L _{1} L _{2}}$ .

4) Seconde méthode : on débranche la série. Le primaire est parcouru par un courant sinusoïdal de valeur efficace $I_{1} = 0, 10 A$ et de fréquence $50 Hz$ ; le secondaire est ouvert, et l'on mesure la tension à ses bornes avec un voltmètre. Quelle valeur efficace lit-on ? Pourquoi faut-il que le secondaire soit ouvert ?

5) Pourquoi $L_{-}$ est-elle nécessairement positive ? Qu'en déduit-on sur $∣ M ∣$ ?

Corrigé

1) Deux bobines en série. Orientons les deux bobines dans le sens du courant commun $i$ (et $r = r_{1} + r_{2}$ ). Le flux total à travers le circuit est la somme des flux à travers chaque bobine ; à travers la bobine 1, il y a son flux propre $L_{1} i$ et le flux $M i$ envoyé par la bobine 2 ; à travers la bobine 2, son flux propre $L_{2} i$ et le flux $M i$ envoyé par la bobine 1 :

$Φ = (L_{1} i + M i) + (L_{2} i + M i) = (L_{1} + L_{2} + 2 M) i .$

L'association a donc l'inductance $L_{1} + L_{2} + 2 M$ . Si l'on retourne le branchement de la seconde bobine, le courant commun la parcourt en sens inverse de son orientation précédente : relativement à l'orientation imposée par le courant, sa mutuelle change de signe, et l'inductance devient $L_{1} + L_{2} - 2 M$ . Avec $M > 0$ dans la première orientation (bobinages « concordants »), $L_{+}$ est la plus grande des deux.

2) Deux mesures, deux inconnues. Par différence et par somme :

$∣ M ∣ = \frac{L _{+} - L _{-}}{4} = \frac{85 - 15}{4} = 17, 5 mH, L_{1} + L_{2} = \frac{L _{+} + L _{-}}{2} = \frac{85 + 15}{2} = 50 mH .$

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