Mutuelle de deux bobines en influence totale

Exercice de TD · niveau 2 · électricité (MPSI), chapitre 8 — Les lois de l'induction · E. Inductance mutuelle et transformateur

Énoncé

Deux bobines longues coaxiales, de même longueur $ℓ = 20 cm$ , sont bobinées l'une sur l'autre sur une même section $S = 10 c m^{2}$ , avec $N_{1} = 400$ et $N_{2} = 100$ spires. On admet que la bobine $k$ , parcourue par $i_{k}$ , crée à l'intérieur le champ uniforme $μ_{0} \frac{N _{k}}{ℓ} i_{k}$ , dirigé selon l'axe, et un champ extérieur négligeable. Les deux bobines sont orientées dans le même sens autour de l'axe.

1) Calculer $L_{1}$ , $L_{2}$ , puis l'inductance mutuelle $M$ en l'exprimant de deux façons : par le flux envoyé par la bobine 1 à travers la bobine 2, puis par le flux envoyé par la bobine 2 à travers la bobine 1.

2) Montrer que $M^{2} = L_{1} L_{2}$ . On dit que les bobines sont en influence totale.

3) La bobine 2 est maintenant bobinée sur un rayon $r_{2} = 1, 5 cm$ , à l'intérieur de la bobine 1 de rayon $r_{1} = 2, 0 cm$ , toujours sur la même longueur. Montrer que le coefficient de couplage $k = \frac{∣ M ∣}{L _{1} L _{2}}$ vaut $\frac{r _{2}}{r _{1}}$ . Interpréter.

4) Que devient le signe de $M$ si l'on inverse l'orientation de la bobine 2 ?

Corrigé

La stratégie. Une inductance mutuelle se calcule comme une inductance propre, mais « en croisant » : on fait passer un courant dans un circuit, on calcule le flux qu'il envoie à travers l'autre, on divise par le courant.

1) Les trois inductances. Pour les inductances propres, on reprend le résultat de l'exercice 4 : $L_{1} = μ_{0} \frac{N _{1}^{2} S}{ℓ} = 4 π \times 1 0^{- 7} \times \frac{40 0 ^{2} \times 1 , 0 \times 1 0 ^{- 3}}{0 , 20} = 1, 0 \times 1 0^{- 3} H,$ $L_{2} = μ_{0} \frac{N _{2}^{2} S}{ℓ} = 4 π \times 1 0^{- 7} \times \frac{10 0 ^{2} \times 1 , 0 \times 1 0 ^{- 3}}{0 , 20} = 6, 3 \times 1 0^{- 5} H = 63 μ H .$ Flux de 1 à travers 2. La bobine 1, parcourue par $i_{1}$ , crée le champ $B_{1} = μ_{0} \frac{N _{1}}{ℓ} i_{1}$ dans toute la section $S$ , donc à travers chacune des $N_{2}$ spires de la bobine 2, orientées dans le même sens : $Φ_{1 \to 2} = N_{2} B_{1} S = μ_{0} \frac{N _{1} N _{2} S}{ℓ} i_{1} ⟹ M_{21} = μ_{0} \frac{N _{1} N _{2} S}{ℓ} .$ Flux de 2 à travers 1. Symétriquement, $Φ_{2 \to 1} = N_{1} B_{2} S = μ_{0} \frac{N _{1} N _{2} S}{ℓ} i_{2}$ , donc $M_{12} = M_{21}$ . On vérifie ici sur un exemple une propriété générale, admise dans le cours : l'inductance mutuelle est symétrique, et l'on peut parler de « la » mutuelle $M$ : $M = 4 π \times 1 0^{- 7} \times \frac{400 \times 100 \times 1 , 0 \times 1 0 ^{- 3}}{0 , 20} = 2, 5 \times 1 0^{- 4} H = 0, 25 mH .$

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