Ouvrir un circuit inductif

Application directe du cours · niveau 2 · électricité (MPSI), chapitre 8 — Les lois de l'induction

Énoncé

Une bobine d'inductance $L = 0, 10 H$ et de résistance interne $r = 10 Ω$ est alimentée par un générateur idéal de tension $E = 10 V$ , à travers un interrupteur $K$ . Le générateur, l'interrupteur et la bobine forment une maille ; on note $A$ et $B$ les bornes de la bobine, $i$ le courant qui la traverse de $A$ vers $B$ , et $u = u_{A B}$ la tension à ses bornes (convention récepteur). L'interrupteur est fermé depuis longtemps.

1) Quel est le courant $I_{0}$ dans la bobine ? Quelle énergie est stockée ?

2) On ouvre l'interrupteur. On modélise l'ouverture par une décroissance linéaire du courant de $I_{0}$ à $0$ en une durée $Δ t = 1, 0 ms$ . Estimer la tension aux bornes de la bobine, puis aux bornes de l'interrupteur. Que se passe-t-il si $Δ t \to 0$ ? Avec une ouverture réelle, de l'ordre de la microseconde, que voit-on entre les contacts ?

3) Pour protéger le montage, on branche une résistance $R^{'} = 40 Ω$ directement entre $A$ et $B$ , en parallèle sur la bobine. Que vaut le courant dans la bobine juste après l'ouverture ? En déduire la tension $u$ juste après l'ouverture, et la comparer à $E$ .

4) Établir l'équation d'évolution de $i$ après l'ouverture, la résoudre, et faire le bilan énergétique complet. Quelle énergie est dissipée dans $R^{'}$ ?

5) Discuter le choix de $R^{'}$ : que se passe-t-il si $R^{'}$ est très grand ? très petit ?

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La relation de la bobine en convention récepteur, $u = r i + L \frac{d i}{d t}$ , et la continuité de l'intensité dans une bobine : l'énergie $\frac{1}{2} L i^{2}$ ne peut pas varier instantanément, faute de quoi la puissance reçue serait infinie.

1) Le régime permanent. Interrupteur fermé depuis longtemps, le courant est constant : $L \frac{d i}{d t} = 0$ et la bobine se comporte comme sa seule résistance interne. La tension à ses bornes est imposée par le générateur idéal, $u = E$ :

$I_{0} = \frac{E}{r} = \frac{10}{10} = 1, 0 A, E_{m} = \frac{1}{2} L I_{0}^{2} = \frac{1}{2} \times 0, 10 \times 1, 0^{2} = 5, 0 \times 1 0^{- 2} J .$

2) L'ouverture sans protection. Pendant l'ouverture, $\frac{d i}{d t} = - \frac{I _{0}}{Δ t}$ , et le terme inductif domine largement le terme résistif :

$u = r i + L \frac{d i}{d t} \approx - L \frac{I _{0}}{Δ t} = - 0, 10 \times \frac{1 , 0}{1 , 0 \times 1 0 ^{- 3}} = - 100 V .$

La loi des mailles dans la maille générateur–interrupteur–bobine donne la tension entre les contacts de l'interrupteur : $u_{K} = E - u \approx 10 + 100 = 110 V$ , onze fois la tension d'alimentation. Le signe de $u$ s'est inversé : la bobine se comporte maintenant en générateur, elle tente d'entretenir le courant qu'on lui retire (c'est Lenz, appliqué au circuit lui-même).

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