Problème : le transformateur parfait

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · électricité (MPSI), chapitre 8 — Les lois de l'induction · E. Inductance mutuelle et transformateur

Énoncé

Deux enroulements, le primaire ( $N_{1}$ spires) et le secondaire ( $N_{2}$ spires), sont bobinés sur un même noyau de fer feuilleté, refermé sur lui-même, qui canalise toutes les lignes de champ : le couplage est parfait, et chaque spire de l'un ou l'autre enroulement est traversée par le même flux $φ$ . On admet que ce flux par spire est proportionnel aux « ampère-tours » totaux : $φ = Λ (N_{1} i_{1} + N_{2} i_{2}),$ où $Λ$ est une constante positive qui ne dépend que du noyau (sa forme, son matériau), et où $i_{1}$ , $i_{2}$ sont les courants entrant par les bornes homologues des deux enroulements. Les deux enroulements sont en convention récepteur ; on note $u_{1}$ et $u_{2}$ les tensions à leurs bornes. On néglige les résistances des enroulements.

1) Exprimer les flux $Φ_{1}$ et $Φ_{2}$ à travers les enroulements, en déduire $L_{1}$ , $L_{2}$ et $M$ , et vérifier qu'ils sont en influence totale. Écrire les deux équations électriques.

2) En déduire que $\frac{u _{2}}{u _{1}} = \frac{N _{2}}{N _{1}}$ exactement, quelle que soit la charge branchée au secondaire.

3) Le primaire est alimenté par une tension sinusoïdale d'amplitude complexe $U_{1}$ et de pulsation $ω$ ; le secondaire est fermé sur une résistance $R$ . Exprimer $I_{2}$ en fonction de $I_{1}$ , puis montrer que $N_{1} I_{1} + N_{2} I_{2} = \frac{R}{R + j L _{2} ω} N_{1} I_{1} .$ En déduire que, si $L_{1} ω ≫ (\frac{N _{1}}{N _{2}})^{2} R$ , alors $\frac{I _{1}}{I _{2}} \approx - \frac{N _{2}}{N _{1}}$ . Montrer que l'impédance vue du primaire est l'association en parallèle de $j L_{1} ω$ et de $(\frac{N _{1}}{N _{2}})^{2} R$ , et interpréter le courant qui traverse la première (courant magnétisant).

4) Montrer que $u_{1} i_{1} + u_{2} i_{2} = \frac{d}{d t} (\frac{Λ}{2} (N_{1} i_{1} + N_{2} i_{2})^{2})$ . En déduire que, dans la limite du 3), toute la puissance reçue par le primaire est cédée à la charge. Quelle résistance « voit » le générateur ? Application : adapter un haut-parleur de $8 Ω$ à un amplificateur qui doit débiter sur quelques kiloohms.

5) Application au réseau. Un transformateur de quartier abaisse $20 kV$ à $230 V$ (valeurs efficaces). Calculer $N_{1} / N_{2}$ . Le quartier consomme $I_{2} = 100 A$ : quel courant au primaire ? Une ligne de résistance $r = 0, 5 Ω$ transporte la puissance $P = 23 kW$ : comparer les pertes en ligne si le transport se fait sous $230 V$ ou sous $20 kV$ .

6) Cas limite. Que devient le fonctionnement quand $ω \to 0$ ? Pourquoi un transformateur ne fonctionne-t-il pas en courant continu ? Évaluer l'inductance primaire nécessaire pour le transformateur de quartier du 5) à $50 Hz$ , et commenter.

Corrigé

La stratégie. Tout découle des équations de deux circuits fixes couplés (exercices 5 et 6), spécialisées à l'influence totale. On n'utilise ni théorème d'Ampère ni modèle du circuit magnétique : la relation $N_{1} i_{1} + N_{2} i_{2} \approx 0$ , souvent postulée, sera obtenue comme une limite.

1) Inductances et équations. Chaque enroulement est traversé $N_{k}$ fois par le flux $φ$ : $Φ_{1} = N_{1} φ = N_{1}^{2} Λ i_{1} + N_{1} N_{2} Λ i_{2}, Φ_{2} = N_{2} φ = N_{1} N_{2} Λ i_{1} + N_{2}^{2} Λ i_{2} .$ Par identification avec $Φ_{1} = L_{1} i_{1} + M i_{2}$ et $Φ_{2} = M i_{1} + L_{2} i_{2}$ : $L_{1} = N_{1}^{2} Λ, L_{2} = N_{2}^{2} Λ, M = N_{1} N_{2} Λ, donc M^{2} = N_{1}^{2} N_{2}^{2} Λ^{2} = L_{1} L_{2} .$ On reconnaît l'influence totale de l'exercice 5 (où $Λ = μ_{0} S / ℓ$ pour un noyau d'air). En convention récepteur, résistances négligées, la tension aux bornes d'un enroulement est l'opposée de la f.é.m. induite, $u_{k} = - e_{k} = \frac{d Φ _{k}}{d t}$ : $u_{1} = L_{1} \frac{d i _{1}}{d t} + M \frac{d i _{2}}{d t} = N_{1} \frac{d φ}{d t}, u_{2} = M \frac{d i _{1}}{d t} + L_{2} \frac{d i _{2}}{d t} = N_{2} \frac{d φ}{d t} .$

2) Le rapport des tensions. Les deux tensions sont proportionnelles à la même dérivée $\frac{d φ}{d t}$ ; en divisant : $\frac{u _{2}}{u _{1}} = \frac{N _{2}}{N _{1}}$ Ce résultat est exact dans le modèle (couplage parfait, résistances nulles) et ne dépend pas de la charge : il ne fait intervenir aucun courant. Chaque spire, au primaire comme au secondaire, voit la même f.é.m. $\frac{d φ}{d t}$ . On note $m = \frac{N _{2}}{N _{1}}$ le rapport de transformation.

3) Les courants. Le secondaire est fermé sur $R$ . Le courant $i_{2}$ entre dans l'enroulement par sa borne homologue : il sort donc de la résistance par la borne correspondante, et la loi d'Ohm s'écrit $u_{2} = - R i_{2}$ . En complexes, avec la seconde équation du 1) : $j M ω I_{1} + j L_{2} ω I_{2} = - R I_{2} ⟹ I_{2} = - \frac{j M ω}{R + j L _{2} ω} I_{1} .$ Formons les ampère-tours, en utilisant $N_{2} M = N_{1} N_{2}^{2} Λ = N_{1} L_{2}$ : $N_{1} I_{1} + N_{2} I_{2} = N_{1} I_{1} - \frac{j N _{2} M ω}{R + j L _{2} ω} I_{1} = N_{1} I_{1} (1 - \frac{j L _{2} ω}{R + j L _{2} ω}) = \frac{R}{R + j L _{2} ω} N_{1} I_{1} .$ Si $L_{2} ω ≫ R$ , le facteur $\frac{R}{R + j L _{2} ω}$ tend vers zéro : les ampère-tours se compensent, $N_{1} I_{1} + N_{2} I_{2} \to 0$ , c'est-à-dire $\frac{I _{1}}{I _{2}} \approx - \frac{N _{2}}{N _{1}}$ La condition $L_{2} ω ≫ R$ se réécrit, en multipliant par $\frac{N _{1}^{2}}{N _{2}^{2}}$ et puisque $L_{1} = \frac{N _{1}^{2}}{N _{2}^{2}} L_{2}$ : $L_{1} ω ≫ (\frac{N _{1}}{N _{2}})^{2} R$ , la forme annoncée.

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