Une spire autour d'un solénoïde

Exercice de TD · niveau 2 · électricité (MPSI), chapitre 8 — Les lois de l'induction · B. La loi de Faraday

Énoncé

Un solénoïde long, de rayon $r_{s} = 2, 0 cm$ , d'axe $(O z)$ , comporte $n = 2000$ spires par mètre et est parcouru par le courant $i (t) = I_{0} sin (ω t)$ , avec $I_{0} = 1, 0 A$ et $f = 50 Hz$ . On admet que le champ qu'il crée vaut $μ_{0} n i u_{z}$ à l'intérieur (loin des extrémités) et qu'il est nul à l'extérieur.

1) Une spire circulaire de rayon $r = 10 cm$ entoure le solénoïde, coaxiale, dans un plan de section droite, orientée par $n = u_{z}$ . Calculer le flux à travers cette spire et l'amplitude de la force électromotrice induite. Pourquoi le rayon $r$ n'intervient-il pas ?

2) Que vaut la f.é.m. si l'on remplace la spire par une spire de rayon $20 cm$ ? par une bobine de $10$ spires enlaçant le solénoïde ?

3) Une spire de même taille est posée à côté du solénoïde, sans l'enlacer, dans un plan de section droite. Que vaut $e$ ?

4) Une pince ampèremétrique mesure un courant alternatif sans couper le circuit : on referme autour du fil une mâchoire en matériau ferromagnétique sur laquelle est bobiné un enroulement. Expliquer son principe à l'aide de ce qui précède. Pourquoi une telle pince ne mesure-t-elle pas un courant continu ?

Corrigé

La stratégie. Le flux est l'intégrale de $B \cdot n$ sur une surface qui s'appuie sur la spire. On choisit la plus simple : le disque plan de rayon $r$ , perpendiculaire à l'axe. On le découpe en deux régions, celle où le champ existe et celle où il est nul.

1) Le flux ne voit que la région où règne le champ. Sur le disque de rayon $r$ , le champ vaut $μ_{0} ni u_{z}$ dans le disque central de rayon $r_{s}$ (l'intérieur du solénoïde), et zéro dans la couronne $r_{s} < ρ < r$ . Donc $Φ = μ_{0} n i π r_{s}^{2} + 0 = μ_{0} n π r_{s}^{2} I_{0} sin (ω t) .$ Numériquement, $μ_{0} n I_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} \times 2000 \times 1, 0 = 2, 5 \times 1 0^{- 3} T$ et $π r_{s}^{2} = 1, 26 \times 1 0^{- 3} m^{2}$ , d'où une amplitude de flux $Φ_{0} = 3, 2 \times 1 0^{- 6} Wb$ . La loi de Faraday donne $e = - \frac{d Φ}{d t} = - μ_{0} n π r_{s}^{2} I_{0} ω cos (ω t),$ d'amplitude $E_{0} = Φ_{0} ω = 3, 2 \times 1 0^{- 6} \times 2 π \times 50 \approx 1, 0 \times 1 0^{- 3} V = 1, 0 mV .$ Homogénéité : un flux en webers divisé par un temps donne des volts, puisque $1 V = 1 Wb s^{- 1}$ . Le rayon $r$ de la spire n'intervient pas : agrandir la spire n'ajoute au flux que la couronne extérieure, où le champ est nul.

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