Courants de Foucault : le modèle des rails

Une plaque conductrice plane, de conductivité $\sigma$ et d'épaisseur $h$, se déplace à la vitesse $\vec{v}=v{\vec{u}}_x$ dans son plan. Elle traverse l'entrefer d'un électroaimant où règne, sur une région rectangulaire de largeur $a$ (selon ${\vec{u}}_y$) et de longueur $b$ (selon ${\vec{u}}_x$), un champ uniforme et stationnaire $\vec{B}=B{\vec{u}}_z$ normal à la plaque ; le champ est nul ailleurs. Modèle : la tranche de plaque située sous le pôle se comporte comme une barre de longueur $a$, parcourue par un courant selon ${\vec{u}}_y$ ; le reste de la plaque, de part et d'autre, referme ce courant comme le feraient deux rails, avec une résistance négligeable.

1. Exprimer la résistance $r$ de la « barre », la f.é.m., le courant et la force de Laplace. Montrer que $F=\sigma B^{2}vV$, où $V$ est le volume de plaque sous le pôle. Vérifier l'homogénéité.

1. Ordre de grandeur : plaque d'aluminium ($\sigma =3,8\times 10^7\mathrm{S}{\mathrm{m}}^{-1}$) de $2\mathrm{mm}$ d'épaisseur, pôle de $2\mathrm{cm}\times 2\mathrm{cm}$, $B=0,5\mathrm{T}$, $v=1\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. Le modèle surestime-t-il ou sous-estime-t-il la force ?

1. Le ralentisseur d'un poids lourd. Un camion de $40\mathrm{t}$ descend une pente de $7\%$ à vitesse constante, $72\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}$, sans utiliser ses freins à friction. Quelle puissance le ralentisseur doit-il dissiper ? Avec un rotor en acier ($\sigma \approx 5\times 10^6\mathrm{S}{\mathrm{m}}^{-1}$), $B\approx 1\mathrm{T}$ et une vitesse de défilement du métal sous les pôles de $30\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, quel volume de métal doit se trouver sous les pôles ?

1. Pourquoi un frein à courants de Foucault ne peut-il pas immobiliser un véhicule ?

1. Les noyaux des transformateurs sont faits de tôles minces isolées. Par un argument d'échelle, montrer que les pertes par courants de Foucault par unité de volume sont proportionnelles au carré de l'épaisseur des tôles.