Deux barres sur les mêmes rails

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · électricité (MPSI), chapitre 9 — Conversion de puissance : rail de Laplace et induction

Énoncé

Deux barres identiques, de masse $m = 50 g$ et de résistance $R = 0, 50 Ω$ chacune, glissent sans frottement sur deux rails horizontaux de résistance négligeable, distants de $ℓ = 0, 30 m$ , dans un champ vertical uniforme et stationnaire $B = 0, 40 T$ . À $t = 0$ , la barre 1 est lancée à $v_{0} = 2, 0 m s^{- 1}$ ; la barre 2 est immobile, derrière elle.

Orienter le circuit formé par les rails et les deux barres. Montrer que la f.é.m. ne dépend que de la vitesse relative $u = v_{1} - v_{2}$ et exprimer le courant.

Montrer que les forces de Laplace sur les deux barres sont opposées. Qu'en déduit-on pour la quantité de mouvement totale ?

Établir l'équation de $u (t)$ et la constante de temps.

Vitesses finales et énergie dissipée. Applications numériques.

Analogie mécanique.

Corrigé

1) Le circuit. La barre 1 est à l'abscisse $x_{1}$ , la barre 2 à $x_{2} < x_{1}$ . Le circuit est le rectangle compris entre les deux barres, d'aire $ℓ (x_{1} - x_{2})$ ; on l'oriente de normale $+ u_{z}$ . Dans la barre 1 (côté des $x$ croissants) le courant positif va selon $+ u_{y}$ , dans la barre 2 selon $- u_{y}$ . Alors

$Φ = B ℓ (x_{1} - x_{2}), e = - B ℓ (v_{1} - v_{2}) = - B ℓ u, i = \frac{e}{2 R} = - \frac{B ℓ u}{2 R} .$

Si les deux barres avancent à la même vitesse, l'aire ne change pas : pas de f.é.m. Seul compte le mouvement relatif.

2) Les forces. Sur la barre 1, $F_{1} = i ℓ u_{y} \land B u_{z} = i ℓ B u_{x}$ ; sur la barre 2, parcourue en sens inverse, $F_{2} = - i ℓ B u_{x}$ . Les deux forces sont opposées : $F_{1} + F_{2} = 0$ . Les autres forces (poids, réactions) sont verticales ; la résultante horizontale des forces extérieures au système des deux barres est nulle, donc sa quantité de mouvement horizontale se conserve :

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