L'amortisseur électromagnétique

Exercice de TD · niveau 2 · électricité (MPSI), chapitre 9 — Conversion de puissance : rail de Laplace et induction · D. Le freinage par induction

Énoncé

Une barre de masse $m = 50 g$ glisse sans frottement sur deux rails horizontaux distants de $ℓ = 20 cm$ , fermés par une résistance $R$ (résistance totale du circuit), dans un champ vertical uniforme et stationnaire $B$ . Elle est rappelée par un ressort de raideur $k = 20 N m^{- 1}$ , dont l'autre extrémité est fixe ; $x$ désigne l'écart de la barre à sa position d'équilibre. On néglige l'inductance du circuit.

Établir l'équation du mouvement et la mettre sous forme canonique : exprimer $ω_{0}$ et $Q = \frac{R k m}{B ^{2} ℓ ^{2}}$ .

Expliquer pourquoi augmenter $R$ diminue l'amortissement. Cas limite du circuit ouvert.

Pour $R = 0, 010 Ω$ , quel champ donne le régime critique ? Que vaut $Q$ pour $B = 0, 20 T$ ?

Bilan énergétique.

Citer des applications.

Corrigé

1) L'équation. Avec les conventions communes (la barre à l'abscisse $x_{e} + x$ , $x_{e}$ fixe), $Φ = B ℓ (x_{e} + x)$ , $e = - B ℓ x ˙$ , $i = - B ℓ x ˙ / R$ , et la force de Laplace vaut $- \frac{B ^{2} ℓ ^{2}}{R} x ˙ u_{x}$ . Le ressort exerce $- k x u_{x}$ . D'où $m x ¨ = - k x - \frac{B ^{2} ℓ ^{2}}{R} x ˙ ⟺ x ¨ + \frac{ω _{0}}{Q} x ˙ + ω_{0}^{2} x = 0,$ avec $ω_{0} = k / m$ et $\frac{ω _{0}}{Q} = \frac{B ^{2} ℓ ^{2}}{m R}$ , soit $Q = \frac{m R ω _{0}}{B ^{2} ℓ ^{2}} = \frac{R k m}{B ^{2} ℓ ^{2}} .$ Numériquement $ω_{0} = 20/0, 050 = 20 rad s^{- 1}$ et $k m = 1, 0 kg s^{- 1}$ .

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