La barre lancée

La stratégie. La barre est le siège d'une f.é.m. parce que le circuit qu'elle ferme change d'aire ; le courant induit, placé dans le champ, subit une force qui agit sur la barre. On a donc deux équations couplées — une électrique, une mécanique — qu'on écrit avec une seule orientation, fixée une fois pour toutes.

1) Orientation et grandeurs électriques. La résistance est à l'abscisse $x=0$, la barre à l'abscisse $x(t)>0$. On oriente le circuit de normale $+{\vec{u}}_z$ (sens trigonométrique vu de dessus) : dans la barre, le courant positif va selon $+{\vec{u}}_y$. La surface du circuit est le rectangle d'aire $\ell x$, traversé par le champ uniforme, d'où $$\Phi =B\ell x,e=-\frac{\mathrm{d}\Phi }{\mathrm{d}t}=-B\ell v.$$ Le circuit se réduit à la f.é.m. $e$ et à la résistance $R$ (convention générateur pour $e$) : $e=Ri$, soit $$i=-\frac{B\ell v}{R}.$$ Avec $v>0$, $i<0$ : le courant circule en réalité dans le sens horaire vu de dessus. Lenz le confirme : l'aire augmente, le flux augmente, le courant induit crée dans le circuit un champ dirigé vers le bas, ce qui demande un courant horaire.

La force de Laplace sur la barre (longueur $\ell$ parcourue par $i$ selon ${\vec{u}}_y$) vaut $$\vec{F}=i\ell {\vec{u}}_y\wedge B{\vec{u}}_z=i\ell B{\vec{u}}_x=-\frac{B^2{\ell }^2}{R}v{\vec{u}}_x.$$ Elle est opposée à la vitesse : c'est une force de freinage, proportionnelle à $v$, exactement comme un frottement fluide.