Le cadre lancé

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · électricité (MPSI), chapitre 9 — Conversion de puissance : rail de Laplace et induction · C. Le cadre rectangulaire en rotation

Énoncé

Un cadre rectangulaire de $N = 100$ spires, d'aire $S = 40 c m^{2}$ , de moment d'inertie $J = 1, 0 \times 1 0^{- 4} kg m^{2}$ par rapport à son axe, est fermé sur lui-même (résistance totale $R = 2, 0 Ω$ , inductance négligée). Il peut tourner sans frottement autour d'un axe fixe, passant par les milieux de deux côtés opposés et orthogonal à un champ uniforme et stationnaire $B = 0, 10 T$ . On oriente le cadre (normale $n$ ) et l'on repère sa position par l'angle $θ = (B, n)$ , orienté par l'axe ; on note $ω = θ ˙$ et $Φ_{0} = N B S$ . On le lance à $ω_{0} = 300 rad s^{- 1}$ . On rappelle le théorème du moment cinétique pour un solide en rotation autour d'un axe fixe : $J \frac{d ω}{d t}$ est égal à la somme des moments des actions extérieures par rapport à l'axe.

Exprimer $e$ , $i$ , puis le couple de Laplace. Établir $J \frac{d ω}{d t} = - \frac{Φ _{0}^{2}}{R} ω sin^{2} θ$ .

En écrivant $\frac{d ω}{d t} = ω \frac{d ω}{d θ}$ , montrer que $ω (θ) = ω_{0} - \frac{Φ _{0}^{2}}{J R} (\frac{θ}{2} - \frac{sin 2 θ}{4})$ . En déduire l'angle total parcouru avant l'arrêt.

Quand le cadre fait de nombreux tours, on remplace $sin^{2} θ$ par sa moyenne $1/2$ . Montrer que $ω$ décroît alors exponentiellement, avec $τ = \frac{2 J R}{Φ _{0}^{2}}$ . À quelle condition cette approximation est-elle justifiée ?

Faire le bilan énergétique et comparer avec la barre lancée. Valider l'hypothèse « inductance négligée ».

Corrigé

Le schéma, en mots. L'axe est vertical, le champ horizontal. La normale $n$ du cadre tourne dans le plan horizontal ; le sens positif du courant est relié à $n$ par la règle de la main droite. C'est la configuration de la section du cours sur le cadre en rotation, dont on utilise les trois résultats : $Φ = N B S cos θ$ , $e = N B S ω sin θ$ , $Γ = - N B S i sin θ$ .

1) L'équation du mouvement. Le flux est $Φ = Φ_{0} cos θ$ , donc $e = - \frac{d Φ}{d t} = Φ_{0} ω sin θ$ , et le cadre fermé sur lui-même donne $i = \frac{e}{R} = \frac{Φ _{0} ω sin θ}{R}$ . Le moment magnétique est $m = N i S n$ ; le couple de Laplace $m \land B$ a pour composante sur l'axe $Γ = - N B S i sin θ = - Φ_{0} i sin θ$ , d'où $Γ = - \frac{Φ _{0}^{2}}{R} ω sin^{2} θ .$ Ce couple est toujours de signe opposé à $ω$ : il freine, sauf aux instants où $sin θ = 0$ (cadre perpendiculaire au champ) où il s'annule. Le poids et la réaction de l'axe ont un moment nul par rapport à l'axe (axe passant par le centre de masse, liaison parfaite). Le théorème du moment cinétique donne $J \frac{d ω}{d t} = - \frac{Φ _{0}^{2}}{R} ω sin^{2} θ .$

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