Le moteur linéaire à rails

Exercice de TD · niveau 2 · électricité (MPSI), chapitre 9 — Conversion de puissance : rail de Laplace et induction · B. Conversion de puissance

Énoncé

Les rails horizontaux (distance $ℓ = 0, 20 m$ , champ vertical uniforme et stationnaire $B = 1, 0 T$ ) sont reliés par un générateur idéal de f.é.m. $E = 2, 0 V$ en série avec une résistance totale $R = 0, 20 Ω$ ; le générateur est branché de sorte qu'il fasse circuler un courant positif dans le sens trigonométrique vu de dessus. La barre, de masse $m = 0, 10 kg$ , part du repos ; elle est soumise à une force résistante constante $f$ (la charge entraînée), opposée à son mouvement.

Écrire l'équation électrique : que représente le terme $B ℓ v$ ? Que vaut le courant au démarrage ?

Écrire l'équation mécanique et en déduire la vitesse de régime. Vitesse « à vide » ( $f = 0$ ) ?

Pour $f = 1, 0 N$ : courant, vitesse, constante de temps du démarrage.

Bilan de puissance. Définir et calculer le rendement. Montrer que la puissance mécanique est maximale pour $v = E / (2 B ℓ)$ et donner le rendement correspondant.

Un opérateur entraîne la barre à une vitesse $v > E / (B ℓ)$ . Que devient le courant ? Interpréter.

Corrigé

1) L'équation électrique. Avec les conventions communes, la barre est le siège de la f.é.m. induite $e = - B ℓ v$ , et le générateur ajoute $E$ dans le sens positif. La loi des mailles donne $E + e = R i$ , soit $i = \frac{E - B ℓ v}{R} .$ Le terme $B ℓ v$ s'oppose à $E$ dès que la barre avance : c'est la force contre-électromotrice. Au démarrage, $v = 0$ et $i_{d} = E / R = 10 A$ : rien ne limite le courant que la résistance.

2) L'équation mécanique. La force de Laplace vaut $i ℓ B u_{x}$ : avec $i > 0$ elle est motrice. Le principe fondamental donne $m \frac{d v}{d t} = B ℓ \frac{E - B ℓ v}{R} - f .$ En régime permanent, $B ℓ i = f$ , donc $i = \frac{f}{B ℓ}$ et $v_{r} = \frac{E - R i}{B ℓ} = \frac{E}{B ℓ} - \frac{R f}{B ^{2} ℓ ^{2}} .$ À vide ( $f = 0$ ), le courant de régime est nul et $v_{vide} = \frac{E}{B ℓ} = 10 m s^{- 1}$ : la barre accélère jusqu'à ce que sa f.c.é.m. égale exactement $E$ .

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