Problème : l'alternateur à cadre tournant

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · électricité (MPSI), chapitre 9 — Conversion de puissance : rail de Laplace et induction · C. Le cadre rectangulaire en rotation

Énoncé

Un cadre rectangulaire de $N$ spires, d'aire $S$ , est entraîné par un opérateur à vitesse angulaire constante $ω$ autour d'un axe fixe passant par les milieux de deux côtés opposés, orthogonal à un champ uniforme et stationnaire $B$ . On oriente le cadre (normale $n$ ), on note $θ = (B, n) = ω t$ . Le cadre, de résistance propre négligeable, est relié par des contacts glissants à une charge ; on note $R$ la résistance totale du circuit et $L$ son inductance propre (celle du cadre, la charge étant purement résistive).

Exprimer le flux et la f.é.m. induite ; donner son amplitude $E_{m}$ et sa fréquence. Ordre de grandeur pour une bobine de centrale : $N = 500$ , $S = 0, 04 m^{2}$ , $B = 0, 8 T$ , $50 Hz$ .

Le cadre débite dans le circuit $R$ , $L$ . Écrire l'équation électrique et, en régime sinusoïdal établi, l'amplitude $I_{m}$ du courant et son déphasage par rapport à $e$ .

Exprimer le couple de Laplace subi par le cadre et montrer que $Γ ω + e i = 0$ à chaque instant. Quel couple l'opérateur doit-il exercer ? Montrer que le couple de Laplace est résistant en moyenne et le relier à la loi de Lenz.

Montrer que la puissance mécanique moyenne fournie par l'opérateur vaut $\frac{1}{2} R I_{m}^{2}$ ; en déduire le couple moyen.

Application : $N = 100$ , $S = 100 c m^{2}$ , $B = 0, 10 T$ , $f = 50 Hz$ , $R = 5, 0 Ω$ , $L = 20 mH$ . Calculer $E_{m}$ , $I_{m}$ , le déphasage, la puissance moyenne et le couple moyen.

Cas limites $ω \to 0$ et $ω \to \infty$ pour la puissance moyenne. Pourquoi la fréquence du réseau est-elle la fréquence de rotation des alternateurs ?

Corrigé

Le schéma, en mots. L'axe est vertical, le champ horizontal ; le cadre tourne à vitesse constante, sa normale $n$ faisant l'angle $θ = ω t$ avec $B$ . Le sens positif du courant dans le cadre est lié à $n$ par la règle de la main droite ; dans le circuit extérieur, la charge est parcourue par ce même courant $i$ . La f.é.m. $e$ est orientée dans le sens positif (convention générateur pour le cadre).

1) Flux et f.é.m. Chacune des $N$ spires embrasse le flux $B S cos θ$ : $Φ = N B S cos (ω t), e = - \frac{d Φ}{d t} = N B S ω sin (ω t) .$ La f.é.m. est sinusoïdale, d'amplitude $E_{m} = N B S ω$ et de fréquence égale à la fréquence de rotation : un tour du cadre, une période. Elle est maximale quand le flux s'annule (cadre parallèle au champ), là où il varie le plus vite. Pour la bobine de centrale : $E_{m} = 500 \times 0, 8 \times 0, 04 \times 2 π \times 50 \approx 5, 0 \times 1 0^{3} V .$ Quelques kilovolts par bobine : c'est bien l'ordre de grandeur des tensions de sortie des alternateurs de centrale (la dizaine de kilovolts, en associant des bobines), relevées ensuite par des transformateurs.

2) Le courant. L'inductance propre du cadre ajoute sa f.é.m. d'auto-induction ; la loi des mailles s'écrit $e = R i + L \frac{d i}{d t} .$ En régime sinusoïdal établi, en notation complexe ( $e \to E = E_{m}$ en prenant $e$ comme référence de phase), $I = \frac{E}{R + j L ω}$ , d'où $I_{m} = \frac{N B S ω}{R ^{2} + L ^{2} ω ^{2}}, φ = arctan \frac{L ω}{R},$ le courant $i = I_{m} sin (ω t - φ)$ étant en retard de $φ$ sur la f.é.m.

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