Rails fermés sur un condensateur

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · électricité (MPSI), chapitre 9 — Conversion de puissance : rail de Laplace et induction · A. Le rail de Laplace

Énoncé

Les rails horizontaux (distants de $ℓ$ , champ $B$ vertical uniforme et stationnaire) sont reliés à une extrémité par un condensateur de capacité $C$ , initialement déchargé, en série avec une résistance $R$ . Une barre de masse $m$ glisse sans frottement ; on la lance à $t = 0$ à la vitesse $v_{0}$ , en s'éloignant du condensateur. On note $q$ la charge de l'armature dans laquelle entre le courant positif.

Orienter le circuit, écrire l'équation électrique et l'équation mécanique.

Sans résoudre, montrer que $m \frac{d v}{d t} = B ℓ \frac{d q}{d t}$ et en déduire une relation entre $v$ et $q$ valable à tout instant.

Que vaut le courant quand le régime final est atteint ? En déduire la vitesse finale $v_{\infty} = \frac{m v _{0}}{m + C B ^{2} ℓ ^{2}}$ . Cas limites $C \to 0$ et $C \to \infty$ .

Calculer l'énergie dissipée par effet Joule et montrer qu'elle ne dépend pas de $R$ .

Application : $m = 10 g$ , $C = 1 F$ (supercondensateur), $B = 1 T$ , $ℓ = 10 cm$ , $v_{0} = 2 m s^{- 1}$ , $R = 1 Ω$ . Calculer $v_{\infty}$ , la charge finale, les énergies et la constante de temps. Rapprocher du paradoxe de la charge d'un condensateur.

Corrigé

1) Les équations. Avec les conventions communes, $e = - B ℓ v$ . Le circuit comporte, en série, la f.é.m. $e$ , la résistance et le condensateur ; avec $i = \frac{d q}{d t}$ et la tension $q / C$ en convention récepteur, la loi des mailles donne $- B ℓ v = R i + \frac{q}{C} .$ La force de Laplace est $i ℓ B u_{x}$ , d'où l'équation mécanique $m \frac{d v}{d t} = B ℓ i$ .

2) Une intégrale première. Puisque $i = \frac{d q}{d t}$ , l'équation mécanique s'écrit $m \frac{d v}{d t} = B ℓ \frac{d q}{d t}$ . Les deux membres sont des dérivées : on intègre de $0$ à $t$ , avec $v (0) = v_{0}$ et $q (0) = 0$ , $m (v - v_{0}) = B ℓ q .$ Physiquement : l'impulsion que la force de Laplace communique à la barre est proportionnelle à la charge qui a circulé. Cette relation vaut à chaque instant, quel que soit $R$ .

3) Le régime final. Le condensateur se charge jusqu'à ce que le courant s'annule ; alors la barre n'est plus freinée, sa vitesse $v_{\infty}$ est constante, et la loi des mailles avec $i = 0$ donne $q_{\infty} = - C B ℓ v_{\infty}$ . En reportant dans la relation du 2) : $m (v_{\infty} - v_{0}) = - C B^{2} ℓ^{2} v_{\infty} ⟹ v_{\infty} = \frac{m v _{0}}{m + C B ^{2} ℓ ^{2}} .$ La barre ne s'arrête pas : elle s'arrête de charger le condensateur quand la tension $q / C$ équilibre exactement sa f.é.m.

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, avec les autres exercices du chapitre et le tuteur qui guide sans donner la réponse.

Voir le corrigé complet

Gratuit : il suffit de créer un compte (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe), et tu arrives directement sur le corrigé.

Le cours du chapitre · Les autres exercices du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.