Rails fermés sur une bobine : l'oscillateur électromécanique

1) Les équations. Avec les conventions communes, $e=-B\ell v$. La bobine, en convention récepteur dans le sens positif, a pour tension $L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$ ; sans résistance, la loi des mailles est

$$-B\ell v=L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}.$$

La force de Laplace donne $m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=B\ell i$.

2) La conservation du flux. L'équation électrique s'écrit $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(B\ell x+Li\right)=0$. Or $B\ell x$ est le flux du champ extérieur à travers le circuit et $Li$ son flux propre : le flux total à travers un circuit sans résistance est constant. Avec $x(0)=0$ et $i(0)=0$, $Li=-B\ell x$ à tout instant. Un circuit sans résistance « refuse » toute variation de flux : si la barre augmente l'aire, le courant crée un flux propre qui compense exactement.

3) L'oscillation. On reporte $i=-B\ell x/L$ dans l'équation mécanique :

$$m\ddot{x}=-\frac{B^2{\ell }^2}{L}x,{\omega }_0=\frac{B\ell }{\sqrt{mL}}.$$

La barre se comporte comme une masse accrochée à un ressort de raideur $k_{\mathrm{eff}}=B^2{\ell }^2/L$ : elle oscille dans un champ qui ne varie pas. Numériquement