Rails inclinés : la chute freinée

Application directe du cours · niveau 2 · électricité (MPSI), chapitre 9 — Conversion de puissance : rail de Laplace et induction

Énoncé

Les rails font maintenant un angle $α = 3 0^{\circ}$ avec l'horizontale ; ils sont reliés en haut par une résistance $R = 0, 50 Ω$ , et le champ uniforme et stationnaire $B = 0, 50 T$ est vertical. Une barre de masse $m = 20 g$ et de longueur utile $ℓ = 0, 20 m$ , horizontale, glisse sans frottement selon la ligne de plus grande pente, lâchée sans vitesse initiale.

Exprimer le flux à travers le circuit et la f.é.m. en fonction de la vitesse $v$ de la barre le long des rails.

Exprimer la force de Laplace et sa composante le long des rails. D'où vient le facteur $cos^{2} α$ ?

Établir l'équation du mouvement, la vitesse limite $v_{lim}$ et la constante de temps. Applications numériques.

Vérifier, en régime limite, que la puissance du poids est égale à la puissance Joule.

Cas limite : que se passe-t-il si les rails sont verticaux, le champ restant vertical ?

Corrigé

Le schéma, en mots. On note $u_{X}$ l'horizontale qui descend avec la pente, $u_{Z}$ la verticale ascendante, $u_{Y}$ la direction de la barre, avec $u_{X} \land u_{Y} = u_{Z}$ . L'axe des rails, orienté vers le bas, est $u_{x} = cos α u_{X} - sin α u_{Z}$ ; la barre est à l'abscisse $x$ comptée depuis la résistance. On oriente le circuit par la normale $n = u_{x} \land u_{Y} = cos α u_{Z} + sin α u_{X}$ , perpendiculaire au plan des rails et faisant l'angle $α$ avec la verticale. Avec cette orientation, le courant positif parcourt la barre selon $+ u_{Y}$ .

1) Flux et f.é.m. Le champ n'est pas perpendiculaire au plan du circuit : seule compte sa composante normale, $B \cdot n = B cos α$ . D'où

$Φ = B ℓ x cos α, e = - B ℓ v cos α, i = \frac{e}{R} = - \frac{B ℓ v cos α}{R} .$

2) La force. $F = i ℓ u_{Y} \land B u_{Z} = i ℓ B u_{X}$ : la force de Laplace est horizontale, et non parallèle aux rails. Sa composante utile est $F \cdot u_{x} = i ℓ B cos α$ . Le facteur $cos α$ apparaît donc deux fois : une fois dans le flux (le champ n'est pas normal au circuit), une fois dans la projection de la force (la force n'est pas parallèle au mouvement). Au total

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