Le cube de résistances

La stratégie. Huit nœuds et douze branches : la méthode des potentiels de nœuds demanderait sept inconnues. On utilise plutôt les symétries du réseau : une transformation du cube qui conserve $A$, $B$ et le réseau conserve aussi la répartition des courants (la solution est unique), donc deux points échangés par une telle symétrie sont au même potentiel. Il existe aussi une antisymétrie : une transformation qui échange $A$ et $B$ renverse le sens de tous les courants, et transforme le potentiel $V$ en $V_A+V_B-V$.

On repère les sommets par leurs coordonnées : $A=(0,0,0)$, et les sommets voisins diffèrent d'une seule coordonnée.

1) La grande diagonale, $B=(1,1,1)$. Une rotation d'un tiers de tour autour de la diagonale $AB$ conserve le cube, $A$ et $B$, et permute circulairement les trois voisins de $A$, $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$. Ils sont donc au même potentiel et les trois arêtes issues de $A$ portent chacune $I/3$. Même chose pour les trois voisins de $B$, qui reçoivent chacun $I/3$ de leur côté. Chaque voisin de $A$ reçoit $I/3$ et le répartit, toujours par symétrie (une réflexion qui conserve $A$, $B$ et ce voisin échange ses deux autres arêtes), en deux courants égaux : chacune des six arêtes « du milieu » porte $I/6$. Le long du chemin $A\to (1,0,0)\to (1,1,0)\to B$, en suivant le sens des courants : $$V_A-V_B=R\frac{I}{3}+R\frac{I}{6}+R\frac{I}{3}=\frac{5}{6}RI,R_{AB}=\frac{5}{6}R\approx 0,833R.$$ Contrôle par la loi des nœuds. En $(1,1,0)$, voisin de $B$, arrivent deux courants $I/6$, et part $I/3$ vers $B$ : $I/6+I/6=I/3$.

2) La diagonale de face, $B=(1,1,0)$. Posons $V_A=U$ et $V_B=0$. L'échange des coordonnées $x$ et $y$ conserve $A$ et $B$ : $(1,0,0)$ et $(0,1,0)$ sont au même potentiel, de même que $(1,0,1)$ et $(0,1,1)$. La transformation $(x,y,z)\mapsto (1-x,1-y,z)$ échange $A$ et $B$ ; elle échange aussi $(1,0,0)$ et $(0,1,0)$, d'où par l'antisymétrie $V_{(1,0,0)}=U-V_{(0,1,0)}$. Avec l'égalité précédente, ces deux sommets sont à $U/2$ ; de même $(1,0,1)$ et $(0,1,1)$. Quatre sommets sont donc à $U/2$, et les arêtes $(1,0,0)$–$(1,0,1)$ et $(0,1,0)$–$(0,1,1)$, qui relient deux points de même potentiel, ne portent aucun courant. Reste le sommet $(0,0,1)$, voisin de $A$ (à $U$) et de deux sommets à $U/2$. La loi des nœuds en ce point, avec $u=Ri$ sur chaque arête, s'écrit $$\frac{U-V}{R}+\frac{U/2-V}{R}+\frac{U/2-V}{R}=0⟹V=\frac{2}{3}U.$$ Le courant qui sort de $A$ est la somme des courants de ses trois arêtes : $$I=\frac{U-U/2}{R}+\frac{U-U/2}{R}+\frac{U-2U/3}{R}=\frac{4}{3}\frac{U}{R},R_{AB}=\frac{3}{4}R.$$

3) Deux sommets voisins, $B=(1,0,0)$. Posons encore $V_A=U$, $V_B=0$. L'échange de $y$ et $z$ conserve $A$ et $B$ : $(0,1,0)$ et $(0,0,1)$ sont à un même potentiel $a$ ; $(1,1,0)$ et $(1,0,1)$ à un même potentiel. La transformation $x\mapsto 1-x$ échange $A$ et $B$, et chaque sommet de la face $x=0$ avec son vis-à-vis : par antisymétrie, $(1,1,0)$ et $(1,0,1)$ sont à $U-a$, et si $(0,1,1)$ est à $b$, $(1,1,1)$ est à $U-b$. Deux lois des nœuds suffisent. En $(0,1,0)$, voisin de $A$ ($U$), de $(1,1,0)$ ($U-a$) et de $(0,1,1)$ ($b$) : $$(U-a)+(U-a-a)+(b-a)=0⟺4a=2U+b.$$ En $(0,1,1)$, voisin de $(0,1,0)$ et $(0,0,1)$ (tous deux à $a$) et de $(1,1,1)$ ($U-b$) : $$2(a-b)+(U-b-b)=0⟺4b=2a+U.$$ En reportant $b=(2a+U)/4$ dans la première : $16a=8U+2a+U$, d'où $a=\frac{9}{14}U$ et $b=\frac{4}{7}U$. Le courant total qui sort de $A$ : $$I=\frac{U}{R}+2\frac{U-\frac{9}{14}U}{R}=\left(1+\frac{5}{7}\right)\frac{U}{R}=\frac{12}{7}\frac{U}{R},R_{AB}=\frac{7}{12}R\approx 0,583R.$$ Un calcul numérique sur les huit nœuds, sans aucune symétrie, redonne $0,8333R$, $0,7500R$ et $0,5833R$.

4) Le classement. $\frac{7}{12}<\frac{3}{4}<\frac{5}{6}$ : plus les sommets sont proches, plus la résistance est faible. C'est attendu : entre deux voisins, une arête de résistance $R$ les relie directement et d'autres chemins s'y ajoutent en parallèle, donc $R_{AB}<R$ ; entre deux sommets opposés, tout chemin compte au moins trois arêtes. Chacun est aussi inférieur à la résistance du plus court chemin ($R$, $2R$, $3R$) : ajouter des chemins facilite le passage du courant.

Ce que l'exercice installe. Les symétries remplacent les équations : deux points échangés par une symétrie du réseau qui conserve l'entrée et la sortie sont au même potentiel ; une arête entre deux points de même potentiel ne porte pas de courant et peut être supprimée. L'antisymétrie (échanger l'entrée et la sortie) place des points au potentiel moyen.