Les électrons vont au pas

La stratégie. On passe de l'échelle macroscopique (une intensité, une section) à l'échelle des porteurs (une densité, une vitesse) par un bilan de charge pendant $\mathrm{d}t$ : c'est la définition même de l'intensité, $i=\mathrm{d}q/\mathrm{d}t$, appliquée à un volume bien choisi.

1) La densité de porteurs et la loi $I=nevS$. Un mètre cube de cuivre a une masse $\rho$, donc contient $\rho /M$ moles d'atomes, soit $\rho N_A/M$ atomes, et autant d'électrons de conduction : $$n=\frac{\rho N_A}{M}=\frac{8,96\times 10^3\times 6,02\times 10^{23}}{63,5\times 10^{-3}}\approx 8,5\times 10^{28}{\mathrm{m}}^{-3}.$$ Pendant $\mathrm{d}t$, chaque électron avance de $v\mathrm{d}t$. Ceux qui franchissent la section droite pendant cette durée sont exactement ceux qui se trouvaient, à l'instant $t$, dans le cylindre de base $S$ et de longueur $v\mathrm{d}t$ situé juste en amont : il y en a $nSv\mathrm{d}t$, qui portent chacun la charge $e$ en valeur absolue. La charge qui traverse la section est donc $\mathrm{d}q=neSv\mathrm{d}t$, et $$I=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=nevS.$$ Signe. Les électrons sont négatifs : ils avancent en sens inverse du sens conventionnel du courant. La formule donne les valeurs absolues ; le sens se lit à part.

Homogénéité. ${\mathrm{m}}^{-3}\times \mathrm{C}\times \mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}\times {\mathrm{m}}^2=\mathrm{C}{\mathrm{s}}^{-1}=\mathrm{A}$.

Numériquement, $$v=\frac{I}{neS}=\frac{16}{8,5\times 10^{28}\times 1,6\times 10^{-19}\times 1,5\times 10^{-6}}\approx 7,8\times 10^{-4}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},$$ moins d'un millimètre par seconde : les électrons vont au pas d'un escargot, et c'est pour un courant déjà fort.

2) Le paradoxe de l'interrupteur. Parcourir $10\mathrm{m}$ à $0,78\mathrm{mm}{\mathrm{s}}^{-1}$ prend $10/7,8\times 10^{-4}\approx 1,3\times 10^4\mathrm{s}$, environ trois heures et demie. Le signal, lui, met $10/(2\times 10^8)=50\mathrm{ns}$.

La lampe ne s'allume pas quand « les électrons de l'interrupteur » l'atteignent : le fil est plein d'électrons de conduction, d'un bout à l'autre. En fermant l'interrupteur, on établit dans tout le conducteur, à la vitesse du signal, la cause qui les met en mouvement ; tous les électrons du circuit se mettent à dériver presque en même temps, y compris ceux du filament. Ce qui se propage vite, c'est la mise en mouvement, pas la matière.

3) En alternatif, les électrons oscillent sur place. La relation $i=nevS$ vaut à chaque instant (le bilan de la question 1 n'a rien supposé de constant), donc $v(t)=\frac{i(t)}{neS}$, d'amplitude $$v_m=\frac{I\sqrt{2}}{neS}\approx 1,1\times 10^{-3}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ La position d'un électron est une primitive de $v(t)=v_m\cos (\omega t)$, soit $x(t)=x_0+\frac{v_m}{\omega }\sin (\omega t)$ : il oscille autour d'une position moyenne fixe, avec l'amplitude $$X_m=\frac{v_m}{\omega }=\frac{1,1\times 10^{-3}}{2\pi \times 50}\approx 3,5\times 10^{-6}\mathrm{m}.$$ Sur le secteur, un électron ne parcourt jamais plus de quelques micromètres : il n'y a aucun transport de matière d'un bout à l'autre du câble, et pourtant de l'énergie est transportée.

4) Combien d'électrons, et quelle fluctuation. En $\Delta t=1\mathrm{ns}$ : $$N=\frac{I\Delta t}{e}=\frac{16\times 10^{-9}}{1,6\times 10^{-19}}\approx 1,0\times 10^{11},\frac{1}{\sqrt{N}}\approx 3\times 10^{-6}.$$ Même sur une nanoseconde, la granularité de la charge est invisible : la fluctuation relative est de quelques millionièmes, très en dessous de la précision de tout ampèremètre. Pour $1\mathrm{pA}$ pendant $1\mathrm{ms}$ : $$N=\frac{10^{-12}\times 10^{-3}}{1,6\times 10^{-19}}\approx 6\times 10^3,\frac{1}{\sqrt{N}}\approx 1,3\%.$$ Cette fois la fluctuation se mesure : c'est le bruit de grenaille, qui limite la détection des très faibles flux lumineux.

Cas limite et conclusion. La charge peut être traitée comme continue quand le nombre de porteurs qui interviennent pendant la durée d'observation est grand, au sens où $1/\sqrt{N}$ est négligeable devant la précision voulue. C'est un rapport entre le courant, la durée d'observation et l'exigence de la mesure, pas une propriété de la charge seule.

Ce que l'exercice installe. Le bilan de charge sur une durée $\mathrm{d}t$, à travers une surface, est la façon de relier un débit macroscopique à ce qui le porte : il resservira pour la loi des nœuds (exercice 4) et, au-delà, pour tous les bilans de l'année. Et la distinction entre la vitesse des porteurs et la vitesse du signal est la clé de l'approximation des régimes quasi stationnaires : ce qui compte pour l'ARQS, c'est la seconde.