Adaptation ou rendement ?

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La loi des mailles, $\mathcal{P}=R{i}^2$ pour une résistance, l'étude d'une fonction d'une variable. La stratégie : adimensionner le problème par $x=R/r$, ce qui fait apparaître une courbe universelle, la même pour toutes les sources.

1) La puissance et son maximum. Le courant vaut $i=\frac{E}{R+r}$, d'où

$$\mathcal{P}=R{i}^2=\frac{E^{2}R}{(R+r{)}^2}.$$

Dérivons par rapport à $R$ :

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}\mathcal{P}}{\mathrm{d}R}& =E^2\frac{(R+r{)}^2-2R(R+r)}{(R+r{)}^4}\\ & =E^2\frac{r-R}{(R+r{)}^3}.\end{array}$$

Cette dérivée est positive pour $R<r$, nulle en $R=r$, négative pour $R>r$ : $\mathcal{P}$ est maximale pour $R=r$, et ${\mathcal{P}}_{\max }=\frac{E^2}{4r}$. En divisant :

$$\frac{\mathcal{P}}{{\mathcal{P}}_{\max }}=\frac{4Rr}{(R+r{)}^2}=\frac{4x}{(1+x{)}^2}.$$

Cas limites : la puissance est nulle en court-circuit ($R=0$, tension nulle) et à vide ($R\to \infty$, courant nul) ; il y a donc forcément un maximum entre les deux.

2) Le rendement. La source idéale fournit $Ei$, la charge reçoit $R{i}^2=Ri\cdot i$, et $E=(R+r)i$ :

$$\eta =\frac{R{i}^2}{Ei}=\frac{R}{R+r}=\frac{x}{1+x}.$$

À l'adaptation, $x=1$ : $\eta =50\%$, la moitié de la puissance est dissipée dans la source elle-même. Pour $\eta \ge 0,9$, il faut $x\ge 9$, c'est-à-dire $R\ge 9r$ ; on reçoit alors $\frac{4\times 9}{100}=0,36$, soit $36\%$ de ${\mathcal{P}}_{\max }$. Rendement et puissance sont antagonistes.

3) Deux charges, même puissance. On cherche $R_1\ne R_2$ avec $\frac{R_1}{(R_1+r{)}^2}=\frac{R_2}{(R_2+r{)}^2}$. En développant : $R_1(R_2+r{)}^2=R_2(R_1+r{)}^2$, soit $R_1{R}_2^2+R_1{r}^2=R_2{R}_1^2+R_2{r}^2$, ou encore $R_1{R}_2(R_2-R_1)=r^2(R_2-R_1)$. Comme $R_1\ne R_2$, on peut diviser : $R_1{R}_2=r^2$. Réciproquement, ces calculs se remontent. Autrement dit $\mathcal{P}(R)=\mathcal{P}(r^2/R)$ : la courbe $\mathcal{P}/{\mathcal{P}}_{\max }$ en fonction de $x$ prend la même valeur en $x$ et en $1/x$. Le maximum $x=1$ est le point fixe de cette symétrie. Des deux charges qui reçoivent la même puissance, la plus grande a le meilleur rendement : c'est toujours celle-là qu'on choisit.

4) Application et contre-exemples. Pour le GBF : ${\mathcal{P}}_{\max }=\frac{100}{200}=0,5\mathrm{W}$, obtenue sur une charge de $50\Omega$. En haute fréquence, l'adaptation à $50\Omega$ des câbles coaxiaux a une autre raison encore, qui relève de la propagation et dépasse le cadre de l'ARQS : elle évite que le signal se réfléchisse au bout du câble.

Le réseau électrique, lui, vise le rendement : la résistance vue d'une prise domestique est de l'ordre de quelques dixièmes d'ohm, et un appareil de $2\mathrm{kW}$ sous $230\mathrm{V}$ présente environ $26\Omega$, soit $x$ de l'ordre de cent. S'adapter dissiperait autant de puissance dans les lignes que chez l'utilisateur, et ferait s'effondrer la tension. Un amplificateur audio a une résistance de sortie de quelques centièmes d'ohm pour un haut-parleur de $8\Omega$ : il se comporte en quasi-source de tension idéale, pour que la tension appliquée au haut-parleur ne dépende pas de sa résistance, qui varie avec la fréquence. Le mot « adaptation » qu'emploient les vendeurs de haut-parleurs désigne seulement la compatibilité avec ce que l'amplificateur peut fournir.

Ce que l'exercice installe. Le transfert maximal de puissance a lieu pour $R=r$ et se paie d'un rendement de $50\%$ ; on l'utilise quand la puissance disponible est rare (antenne, capteur, signal faible), jamais quand elle est abondante. Méthode à retenir : adimensionner pour lire une courbe universelle, et étudier le signe d'une dérivée pour situer un extremum.