Identifier un modèle de Thévenin

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le modèle de Thévenin $u=E-ri$, la loi d'Ohm pour la charge, le diviseur de tension. La stratégie : un modèle linéaire a deux paramètres, donc deux mesures suffisent ; plus de mesures permettent de vérifier que le modèle est bon et de réduire l'incertitude.

1) Régression. Les points sont alignés : $u$ diminue d'environ $0,05\mathrm{V}$ chaque fois que $i$ augmente de $0,10\mathrm{A}$, ce qui est la signature d'une droite de pente $-r$. Une régression linéaire par moindres carrés donne la droite qui passe au mieux :

import numpy as np
i = np.array([0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5])     # courant (A)
u = np.array([1.52, 1.47, 1.42, 1.38, 1.33, 1.27])  # tension (V)
pente, E = np.polyfit(i, u, 1)                    # u = E - r i
r = -pente
print(f"E = {E:.3f} V, r = {r:.3f} ohm, Icc = {E/r:.2f} A")
print("écart max :", f"{np.max(np.abs(u - (E - r*i)))*1e3:.1f} mV")

Résultat obtenu en l'exécutant :

E = 1.520 V, r = 0.489 ohm, Icc = 3.11 A
écart max : 6.2 mV

Donc $E=1,52\mathrm{V}$, $r\approx 0,49\Omega$, et le courant de court-circuit vaut $I_{cc}=E/r\approx 3,1\mathrm{A}$. Les écarts à la droite ne dépassent pas $6\mathrm{mV}$, de l'ordre de la résolution du voltmètre : le modèle linéaire est validé sur cette plage. Le point délicat : il ne l'est que sur cette plage. Une pile n'est pas un dipôle linéaire sur toute sa caractéristique : sa résistance interne dépend du courant, de la température et de l'état de charge. Le modèle de Thévenin est un modèle local.

2) La pile usée. À vide, le voltmètre ne tire presque aucun courant : il lit $E=1,48\mathrm{V}$. Sous $100\mathrm{mA}$ : $$r=\frac{E-u}{i}=\frac{1,48-0,98}{0,10}=5,0\Omega .$$ Son courant de court-circuit vaut $E/r=0,296\mathrm{A}$ : c'est le plus grand courant qu'elle puisse débiter, obtenu en reliant ses bornes par un fil, sous une tension nulle. Un appareil qui demande $0,30\mathrm{A}$ ne peut donc pas fonctionner : même en court-circuit, la pile ne les fournit pas.

Le paradoxe s'explique : le voltmètre mesure $E$, qui n'a presque pas changé ; ce qui a changé, c'est $r$, multipliée par dix. Une pile se teste sous charge, pas à vide.

3) Le point de fonctionnement. La pile impose $u=E-ri$, la lampe $u=Ri$ ; les deux relations sont vraies en même temps, d'où $i=\frac{E}{R+r}$. Pour la pile neuve : $i=\frac{1,52}{2,99}=0,51\mathrm{A}$, $u=1,27\mathrm{V}$, $\mathcal{P}=R{i}^2=0,65\mathrm{W}$. Pour la pile usée : $i=\frac{1,48}{7,5}=0,20\mathrm{A}$, $u=0,49\mathrm{V}$, $\mathcal{P}=0,097\mathrm{W}$, sept fois moins : la lampe rougeoie à peine.

Graphiquement : dans le plan où l'on porte $i$ en abscisse et $u$ en ordonnée, la caractéristique de la pile est la droite qui coupe l'axe des tensions en $E$ et l'axe des courants en $I_{cc}$ ; celle de la lampe est la droite passant par l'origine de pente $R$. Le point de fonctionnement est leur intersection. Quand la pile s'use, sa droite pivote autour d'un point proche de $(0,E)$ en devenant plus raide, et l'intersection descend le long de la droite de la lampe. La lecture graphique vaut pour toute charge, même non linéaire, dont on connaît la caractéristique : c'est son intérêt.

4) La méthode de la demi-tension. L'oscilloscope seul a une résistance d'entrée $R_e=1\mathrm{M\Omega }$ très grande devant $R_s$ : il observe pratiquement la tension à vide $E$. Avec $R$ en parallèle (et $R\ll R_e$, de sorte que l'association vaut pratiquement $R$), le diviseur de tension donne $$u=E\frac{R}{R+R_s},u=\frac{E}{2}⟺R+R_s=2R⟺R=R_s.$$ Donc $R_s=50\Omega$, la valeur standard des GBF. La mesure à vide est faussée d'un facteur relatif $\frac{R_s}{R_s+R_e}=\frac{50}{10^6}=5\times 10^{-5}$ : totalement négligeable. Avantage de la méthode : on n'a besoin d'aucune valeur absolue de tension, seulement d'un rapport, que l'oscilloscope lit sans étalonnage.

Ce que l'exercice installe. Identifier un modèle, c'est mesurer autant de grandeurs qu'il a de paramètres, puis vérifier sur des mesures supplémentaires. La résistance interne d'une source se mesure en charge ; la résistance de sortie d'un GBF se mesure par la demi-tension, et vaut $50\Omega$ : il faudra s'en souvenir chaque fois qu'on branchera une faible résistance sur un GBF. Et le point de fonctionnement est l'intersection de deux caractéristiques.