La bobine d'allumage

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La relation $u_L=L\frac{\mathrm{d}{i}_L}{\mathrm{d}t}$, l'énergie $W_L=\frac{1}{2}L{i}_L^2$, la loi des mailles et le comportement d'une bobine en régime permanent (un fil : $u_L=0$). La stratégie : le courant dans la bobine ne peut pas s'interrompre ; il faut donc trouver le chemin qu'il emprunte, et la tension s'ensuit.

1) Le régime permanent. La bobine est équivalente à un fil, il reste sa résistance $r$ : $I_0=E/r=12/2=6,0\mathrm{A}$. La résistance $R_p$, soumise à $E$, est parcourue par $E/R_p=0,12\mathrm{A}$, qui ne passe pas par la bobine. L'énergie stockée vaut

$$W_L=\frac{1}{2}L{I}_0^2=\frac{1}{2}\times 5\times 10^{-3}\times 36=90\mathrm{mJ}.$$

2) La continuité et la surtension. La puissance reçue par la bobine idéale vaut

$$\begin{array}{rl}p& =u_L{i}_L\\ & =L{i}_L\frac{\mathrm{d}{i}_L}{\mathrm{d}t}\\ & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}L{i}_L^2\right).\end{array}$$

Si $i_L$ sautait de $I_0$ à une autre valeur en une durée nulle, l'énergie $\frac{1}{2}L{i}_L^2$ varierait d'une quantité finie en un temps nul, ce qui exigerait une puissance infinie. Aucune source réelle ne fournit ni n'absorbe une puissance infinie : $i_L$ est continu, et $i_L(0^{+})=I_0=6,0\mathrm{A}$.

Or $K$ est ouvert : la branche de la batterie ne porte plus aucun courant. Le seul chemin qui reste est la maille formée par la bobine et $R_p$. Le courant $I_0$ sort donc de la bobine par la borne de masse et remonte dans $R_p$, de la masse vers le point commun avec $K$. La tension aux bornes de $R_p$, orientée comme $u$, vaut donc $-R_p{I}_0$ :

$$u(0^{+})=-R_p{I}_0=-100\times 6,0=-600\mathrm{V}.$$

La tension aux bornes de l'interrupteur ouvert s'obtient par la loi des mailles dans la maille batterie, interrupteur, ensemble bobine : $u_K=E-u(0^{+})=12+600=612\mathrm{V}$.

Le point délicat : le signe. Avant l'ouverture, $u=E=+12\mathrm{V}$ ; juste après, $u=-600\mathrm{V}$. La tension aux bornes de la bobine change de signe et est multipliée par cinquante, alors que le courant n'a pas bougé. C'est la bobine qui fournit maintenant de l'énergie, elle passe en fonctionnement générateur. Et c'est la discontinuité de $u$, pas celle de $i_L$, qui est permise.

3) Sans $R_p$. Le courant $I_0$ n'aurait plus aucun chemin : la seule façon de le faire varier très vite serait une tension $u=L\frac{\mathrm{d}{i}_L}{\mathrm{d}t}$ gigantesque, qui croît jusqu'à ce que l'air entre les contacts de l'interrupteur devienne conducteur. Un arc électrique s'établit : il fournit le chemin manquant et dissipe l'énergie, en usant les contacts. C'est l'étincelle de rupture qu'on voit en débranchant un appareil inductif.

Dans les deux cas, l'énergie $W_L=90\mathrm{mJ}$ finit en chaleur : dans $R_p$ et $r$ en présence de $R_p$, dans l'arc sinon. Ordre de grandeur : $90\mathrm{mJ}$ dissipés en une centaine de microsecondes, c'est une puissance moyenne de l'ordre du kilowatt.

4) La durée et l'allumage. Le temps caractéristique vaut

$$\frac{L}{R_p+r}=\frac{5\times 10^{-3}}{102}\approx 49\mu \mathrm{s}\approx 50\mu \mathrm{s}.$$

Homogénéité : $L/R$ est un temps, puisque $Li/t$ et $Ri$ sont deux tensions. Cas limite : plus $R_p$ est grande, plus la surtension $R_p{I}_0$ est forte et plus la décroissance est rapide ; si $R_p\to \infty$, on retrouve l'arc de la question 3.

Dans un allumage, la bobine porte un second enroulement de beaucoup plus de spires, couplé au primaire : la brusque variation du courant primaire y induit une tension de l'ordre de la dizaine de kilovolts, qui fait claquer l'étincelle entre les électrodes de la bougie. Le mécanisme relève de l'induction et n'est que mentionné ici ; ce qui compte, c'est que la surtension naît de la continuité du courant dans la bobine. Pour protéger le rupteur, on place d'ailleurs en parallèle sur lui un condensateur, qui absorbe le courant au moment de l'ouverture.

Ce que l'exercice installe. La continuité de $i_L$ n'est pas une curiosité mathématique : c'est une conséquence de la puissance finie, et elle a des effets spectaculaires. On ne coupe pas le courant d'une bobine : on lui offre un chemin, sinon il s'en fabrique un. C'est la raison d'être de la diode « de roue libre » placée en parallèle sur les bobines de relais et de moteurs. Méthode générale : pour trouver une grandeur juste après une commutation, on pose les grandeurs continues, on cherche le circuit restant, on applique les lois de Kirchhoff.