Le paradoxe des deux condensateurs

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La relation $q=Cu$ pour chaque condensateur, $i=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$, la loi des nœuds, l'énergie $\frac{1}{2}C{u}^2$. La stratégie : un bilan de charge donne l'état final, un bilan d'énergie mesure la perte ; le désaccord entre les deux est le paradoxe.

1) La charge se conserve. Considérons le nœud formé par l'armature haute de $C_1$, le fil, la résistance et l'armature haute de $C_2$ : c'est un conducteur isolé, aucun fil n'en sort. Notons $i$ le courant dans $R$, orienté de $C_1$ vers $C_2$, et $q_1$, $q_2$ les charges des armatures hautes. L'armature de $C_1$ perd la charge que transporte $i$, celle de $C_2$ la gagne : $$\frac{\mathrm{d}{q}_1}{\mathrm{d}t}=-i,\frac{\mathrm{d}{q}_2}{\mathrm{d}t}=+i,\text{donc}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(q_1+q_2)=0.$$ En intégrant de $0$ à l'état final, $q_1+q_2$ se conserve : $C_1{U}_0=(C_1+C_2)U_f$, puisque dans l'état final le courant est nul, donc la tension aux bornes de $R$ aussi, et les deux condensateurs ont la même tension. Ainsi $$U_f=\frac{C_1}{C_1+C_2}{U}_0.$$

2) L'énergie ne se conserve pas. Avant : $W_i=\frac{1}{2}{C}_1{U}_0^2$. Après : $$W_f=\frac{1}{2}(C_1+C_2)U_f^2=\frac{C_1^2{U}_0^2}{2(C_1+C_2)}.$$ La différence vaut $$\Delta W=W_i-W_f=\frac{C_1{U}_0^2}{2}(1-\frac{C_1}{C_1+C_2})=\frac{C_1{C}_2}{2(C_1+C_2)}{U}_0^2>0,$$ et la fraction perdue vaut $\frac{\Delta W}{W_i}=\frac{C_2}{C_1+C_2}$ : la moitié pour $C_1=C_2$, 80 % pour $C_2=4C_1$.

3) Où est passée l'énergie ? Dans la résistance des fils, par effet Joule. Avec le courant admis : $$W_J={\int }_0^{\infty }R{i}^2\mathrm{d}t=R\frac{U_0^2}{R^2}{\int }_0^{\infty }{\mathrm{e}}^{-2t/\tau }\mathrm{d}t=\frac{U_0^2}{R}\cdot \frac{\tau }{2}=\frac{U_0^2}{2}\frac{C_1{C}_2}{C_1+C_2}=\Delta W.$$ Le point délicat, et la clé du paradoxe. La résistance $R$ s'est simplifiée : une petite résistance laisse passer un grand courant pendant peu de temps, une grande résistance un petit courant pendant longtemps, et l'énergie dissipée est la même. Le bilan est fixé par les états initial et final, pas par le chemin. Le cas « $R=0$ » n'a pas de sens physique dans ce modèle : le courant serait infini pendant une durée nulle. Dans la réalité, il reste toujours la résistance des fils et des armatures, et quand elle est très faible, une partie de l'énergie est rayonnée sous forme d'onde électromagnétique et de petite étincelle au contact ; le modèle des régimes quasi stationnaires cesse alors d'être suffisant.

4) Application. $U_f=5,0\mathrm{V}$ ; $W_i=\frac{1}{2}\times 10^{-4}\times 100=5,0\mathrm{mJ}$ ; $W_f=\frac{1}{2}\times 2\times 10^{-4}\times 25=2,5\mathrm{mJ}$ ; la perte vaut $2,5\mathrm{mJ}$, soit $50\%$.

Homogénéité : $\frac{C_1{C}_2}{C_1+C_2}$ est une capacité (produit de deux capacités sur une capacité), et $C{U}^2$ est une énergie. Cas limite $C_2\to 0$ : $\Delta W\to 0$ et $U_f\to U_0$ ; brancher un condensateur minuscule ne prend presque rien au premier, ce qui est le cas d'un oscilloscope de quelques picofarads branché sur un gros condensateur.

Ce que l'exercice installe. Deux bilans, qui ne disent pas la même chose : la charge se conserve toujours, l'énergie électrique stockée pas forcément, car une partie peut être dissipée. Et un résultat qui reviendra au chapitre suivant : charger un condensateur à travers une résistance sous une tension constante dissipe exactement autant d'énergie qu'il en stocke, quelle que soit la résistance. Raisonner par bilans, entre deux états, sans connaître le détail de l'évolution, est une méthode que la thermodynamique généralisera.