Couper le courant d'une bobine : surtension et roue libre

La stratégie. La continuité de $i_L$ n'est pas qu'un outil pour trouver des conditions initiales : c'est une contrainte physique. Si le circuit ne laisse aucun chemin au courant de la bobine, la bobine en crée un, en produisant la tension qu'il faut pour faire jaillir un arc. Protéger un circuit inductif, c'est offrir ce chemin, et choisir à quel prix.

1) Régime permanent. Bobine = fil : $I_0=\frac{E}{r}=\frac{12}{40}=0,30\mathrm{A}$, et $${\mathcal{E}}_L=\frac{1}{2}L{I}_0^2=\frac{1}{2}\times 0,20\times 0,30^2=9,0\mathrm{mJ}.$$

2) Sans protection. Le courant passe de $0,30\mathrm{A}$ à zéro en $\theta \approx 1\mu \mathrm{s}$ ; la bobine développe une tension d'ordre $$|u_L|\approx L\frac{I_0}{\theta }=0,20\times \frac{0,30}{10^{-6}}=6\times 10^4\mathrm{V}=60\mathrm{kV}.$$ Ce chiffre n'est jamais atteint : bien avant, la tension dépasse la tension de claquage du transistor (quelques dizaines de volts) ou de l'air entre les contacts, et un arc s'établit. Le courant, qu'on prétendait couper, continue de passer à travers l'arc ou le transistor détruit. La continuité de $i_L$ est toujours respectée ; c'est le circuit qui en paie le prix.

3) Avec la résistance de décharge. Quand $K$ est fermé, $R_d$ est en parallèle sur la bobine et dérive simplement le courant $E/R_d=60\mathrm{mA}$ ; le courant de la bobine est inchangé, $I_0=0,30\mathrm{A}$. Après l'ouverture, la bobine et $R_d$ forment une maille fermée : le courant $i$ de la bobine, continu, vaut $I_0$ en $0^{+}$ et revient par $R_d$, de $N$ vers $P$. La loi des mailles s'écrit $$L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+ri+R_{d}i=0⟺\frac{L}{r+R_d}\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+i=0,$$ d'où $i(t)=I_0{e}^{-t/{\tau }_d}$ avec ${\tau }_d=\frac{L}{r+R_d}=\frac{0,20}{240}=0,83\mathrm{ms}$. Le courant dans $R_d$ allant de $N$ vers $P$, on a $V_N-V_P=R_{d}i$, donc $$u_K(0^{+})=V_N(0^{+})=E+R_d{I}_0=12+200\times 0,30=72\mathrm{V}.$$ La surtension est bornée : $72\mathrm{V}$ au lieu de plusieurs kilovolts. Elle est d'autant plus faible que $R_d$ est petite.

4) Le bilan d'énergie. Les $9,0\mathrm{mJ}$ stockés sont entièrement dissipés dans la maille, par $r$ et $R_d$, parcourues par le même courant : chacune reçoit une part proportionnelle à sa résistance. $$W_{R_d}=\frac{R_d}{R_d+r}\cdot \frac{1}{2}L{I}_0^2=\frac{200}{240}\times 9,0=7,5\mathrm{mJ},W_r=1,5\mathrm{mJ}.$$ On le vérifie par le calcul direct : ${\int }_0^{\infty }{R}_d{I}_0^2{e}^{-2t/{\tau }_d}\mathrm{d}t=R_d{I}_0^2\frac{{\tau }_d}{2}=200\times 0,09\times \frac{0,833\times 10^{-3}}{2}=7,5\mathrm{mJ}$.

5) Avec la diode de roue libre. $K$ fermé : $V_P=E$ et $V_N=0$ ; la diode, anode en $N$, cathode en $P$, verrait un courant de $N$ vers $P$ seulement si $V_N>V_P$, ce qui n'est pas le cas : elle est bloquée et ne consomme rien (contrairement à $R_d$, qui dissipait en permanence $E^2/R_d=0,72\mathrm{W}$). Après l'ouverture, le courant de la bobine, qui doit revenir de $N$ vers $P$, traverse la diode dans son sens passant : elle conduit, avec une tension nulle. La maille ne comporte plus que $r$ : $${\tau }_{\mathrm{diode}}=\frac{L}{r}=\frac{0,20}{40}=5,0\mathrm{ms},u_K(0^{+})=V_N=V_P=E=12\mathrm{V}.$$ Le transistor ne voit plus aucune surtension, et toute l'énergie est dissipée dans la résistance $r$ de la bobine.

6) Le compromis. Le relais retombe quand $I_0{e}^{-t/\tau }=0,10\mathrm{A}$, soit $t=\tau \ln \frac{I_0}{0,10}=\tau \ln 3$ :

• avec $R_d$ : $t=0,83\times 1,10=0,92\mathrm{ms}$, pour une tension $u_K=72\mathrm{V}$ ;
• avec la diode : $t=5,0\times 1,10=5,5\mathrm{ms}$, pour une tension $u_K=12\mathrm{V}$. La diode protège parfaitement mais rend le relais lent ; une grande $R_d$ le rend rapide mais impose une forte tension. C'est inévitable : l'énergie $\frac{1}{2}L{I}_0^2$ doit être évacuée, et l'évacuer vite demande une grande puissance, donc une grande tension. En pratique on place en série avec la diode une petite résistance ou un composant à seuil de tension pour choisir un point intermédiaire.

Ce que l'exercice installe. La continuité de $i_L$ est une loi physique, pas une convention de calcul : un circuit inductif doit toujours offrir un chemin à son courant. L'ordre de grandeur $L\Delta i/\Delta t$ dit ce qui arrive sinon. Et un bilan d'énergie dans une maille série se partage au prorata des résistances. On retrouvera les mêmes surtensions dans les bobines d'allumage, les moteurs et les transformateurs.