électricité (PCSI) · Chapitre 3 · Application directe du cours

L'oscillateur de relaxation : seuils et période

Le circuit linéaire du premier ordre · niveau 2

Énoncé

Un condensateur $C$ est chargé depuis une alimentation continue $E$ à travers deux résistances en série, $R_{A}$ (côté alimentation) puis $R_{B}$ (côté condensateur) ; on note $B$ le point commun à $R_{A}$ et $R_{B}$ . Un circuit de commande surveille $u_{C}$ ; on le modélise (modèle donné) par un interrupteur idéal commandé $K$ , placé entre $B$ et la masse :

$K$ s'ouvre quand $u_{C}$ descend jusqu'au seuil bas $U_{b}$ ;
$K$ se ferme quand $u_{C}$ monte jusqu'au seuil haut $U_{h}$ .

Quand $K$ est fermé, le condensateur se décharge dans $R_{B}$ vers la masse. Un voyant est allumé tant que $K$ est ouvert.

1) Établir la durée $Δ t$ nécessaire pour qu'une grandeur qui évolue selon $τ u ˙ + u = u_{\infty}$ passe d'une valeur $u_{1}$ à une valeur $u_{2}$ (comprise entre $u_{1}$ et $u_{\infty}$ ).

2) Dans le montage usuel, les seuils sont $U_{b} = E /3$ et $U_{h} = 2 E /3$ . Décrire le régime établi, calculer la durée de charge, la durée de décharge et la période $T$ . Montrer que $T$ ne dépend pas de $E$ .

3) On veut un clignotant de fréquence $f = 1, 5 Hz$ , avec $C = 10 μ F$ et $R_{A} = R_{B} = R$ . Calculer $R$ et la fraction de la période pendant laquelle le voyant est allumé.

4) Dans un montage moins soigné, les seuils sont fixes : $U_{b} = 4 V$ et $U_{h} = 8 V$ , quelle que soit $E$ . La batterie qui alimente le montage passe de $12 V$ à $10 V$ en se déchargeant. De combien la période varie-t-elle ? Conclure sur l'intérêt des seuils proportionnels à $E$ .

Corrigé

La stratégie. La question « combien de temps pour atteindre telle valeur ? » se pose sans cesse, et elle se résout toujours de la même façon : on écrit la solution de l'échelon avec les bonnes valeurs initiale et finale, puis on inverse l'exponentielle. Le montage ne fait qu'enchaîner deux tels échelons.

1) La durée de franchissement. Partant de $u_{1}$ en $t = 0$ , $u (t) = u_{\infty} + (u_{1} - u_{\infty}) e^{- t / τ}$ . On cherche $Δ t$ tel que $u (Δ t) = u_{2}$ :

$e^{- Δ t / τ} = \frac{u _{\infty} - u _{2}}{u _{\infty} - u _{1}} ⟹ Δ t = τ ln \frac{u _{\infty} - u _{1}}{u _{\infty} - u _{2}}$

Le logarithme porte sur le rapport des distances à la valeur finale, au départ et à l'arrivée. Il est positif puisque $u_{2}$ est plus proche de $u_{\infty}$ que $u_{1}$ . Si $u_{2} \to u_{\infty}$ , $Δ t \to \infty$ : on n'atteint jamais exactement la valeur finale, et c'est pourquoi un seuil doit être choisi strictement entre la valeur de départ et l'asymptote.

2) Le régime établi. Charge ( $K$ ouvert) : le condensateur est relié à $E$ par $R_{A} + R_{B}$ ; $τ_{c} = (R_{A} + R_{B}) C$ , $u_{\infty} = E$ , de $E /3$ à $2 E /3$ :

$t_{c} = (R_{A} + R_{B}) C ln \frac{E - E /3}{E - 2 E /3} = (R_{A} + R_{B}) C ln 2.$

Décharge ( $K$ fermé) : $B$ est à la masse ; le condensateur se décharge dans $R_{B}$ (le courant de $R_{A}$ part directement à la masse par $K$ et n'intervient pas) ; $τ_{d} = R_{B} C$ , $u_{\infty} = 0$ , de $2 E /3$ à $E /3$ :

$t_{d} = R_{B} C ln \frac{0 - 2 E /3}{0 - E /3} = R_{B} C ln 2.$

D'où la période

$T = t_{c} + t_{d} = (R_{A} + 2 R_{B}) C ln 2.$

$E$ a disparu : les deux rapports de distances valent $2$ parce que les seuils sont proportionnels à $E$ . Toute l'évolution est homothétique dans le rapport $E$ , et une homothétie sur les tensions ne change pas les durées.

3) Le clignotant. Avec $R_{A} = R_{B} = R$ : $T = 3 R C ln 2$ , donc

$R = \frac{1}{3 f C ln 2} = \frac{1}{3 \times 1 , 5 \times 10 \times 1 0 ^{- 6} \times 0 , 693} = 3, 2 \times 1 0^{4} Ω = 32 kΩ .$

Le voyant est allumé pendant la charge : $\frac{t _{c}}{T} = \frac{R _{A} + R _{B}}{R _{A} + 2 R _{B}} = \frac{2}{3}$ . Ordre de grandeur cohérent : une période de $0, 67 s$ est de l'ordre de $R C = 0, 32 s$ — le préfacteur $3 ln 2 \approx 2, 1$ dépend du montage, et c'est lui que le calcul fournit.

4) Les seuils fixes. La décharge, de $8$ à $4 V$ vers $0$ , dure toujours $R C ln 2 = 0, 693 R C$ . La charge, de $4$ à $8 V$ vers $E$ , dure $2 R C ln \frac{E - 4}{E - 8}$ :

pour $E = 12 V$ : $2 R C ln 2 = 1, 386 R C$ , d'où $T = 2, 079 R C$ ;
pour $E = 10 V$ : $2 R C ln 3 = 2, 197 R C$ , d'où $T = 2, 890 R C$ .

La période augmente de $39 %$ quand la batterie perd $17 %$ de sa tension : le seuil haut de $8 V$ est désormais proche de l'asymptote $10 V$ , et la fin de la charge, sur la partie plate de l'exponentielle, devient très lente. Avec des seuils proportionnels à $E$ , la période ne bouge pas. C'est le principe des circuits temporisateurs intégrés, dont les seuils sont fixés par un diviseur de tension sur l'alimentation elle-même.

Ce que l'exercice installe. La formule $Δ t = τ ln \frac{u _{\infty} - u _{1}}{u _{\infty} - u _{2}}$ , à savoir retrouver en une ligne. Et l'idée qu'une durée ne dépend que de rapports de tensions : un montage dont tous les seuils sont proportionnels à l'alimentation est insensible aux variations de celle-ci. Un oscillateur de relaxation transforme ainsi une constante de temps en fréquence stable.

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