Le circuit RC sous créneau : le régime périodique établi

La stratégie. Un créneau est une succession d'échelons. Sur chaque palier, on connaît la solution ; aux instants de commutation, $u$ est continue, et la valeur finale d'un palier devient la valeur initiale du suivant. Pour le régime établi, on n'a pas besoin de suivre toute l'histoire : on écrit qu'après une période, $u$ revient à sa valeur de départ — c'est une condition d'auto-cohérence.

1) Les paliers et le raccord. Sur un palier haut, $\tau \dot{u}+u=E$ : $u$ tend vers $E$. Sur un palier bas, $\tau \dot{u}+u=0$ : $u$ tend vers $0$. À chaque commutation, $e$ saute mais $u$ est continue ; c'est le courant $i=(e-u)/R$ qui saute.

2) L'auto-cohérence. En régime établi, chaque palier haut part de $U_{\min }$ et dure $T/2$ : $$U_{\max }=E+(U_{\min }-E)a.$$ Chaque palier bas part de $U_{\max }$ et dure $T/2$ : $U_{\min }=U_{\max }a$. En reportant : $$U_{\max }=E(1-a)+a^2{U}_{\max }⟹U_{\max }=\frac{E(1-a)}{1-a^2}=\frac{E}{1+a},U_{\min }=\frac{aE}{1+a}.$$

3) L'ondulation. $$\Delta U=\frac{(1-a)E}{1+a}=E\frac{1-e^{-T/2\tau }}{1+e^{-T/2\tau }}=E\tanh \frac{T}{4\tau },$$ en multipliant numérateur et dénominateur par $e^{T/4\tau }$ et en reconnaissant $\tanh x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$ (tangente hyperbolique).

4) Les deux régimes. À $100\mathrm{Hz}$ : $T=10\mathrm{ms}=10\tau$, $a=e^{-5}=6,7\times 10^{-3}$, donc $U_{\max }=0,993E$ et $U_{\min }=0,007E$. Chaque palier dure $5\tau$ : le condensateur a le temps de se charger et de se décharger presque complètement. Le créneau passe, aux fronts arrondis près.

À $10\mathrm{kHz}$ : $T=0,10\mathrm{ms}=\tau /10$, $a=e^{-0,05}=0,951$, donc $$U_{\max }=0,5125E,U_{\min }=0,4875E,\Delta U=0,025E.$$ La tension reste au voisinage de $E/2$, avec une petite ondulation. Pour $T\ll \tau$, $\tanh \frac{T}{4\tau }\approx \frac{T}{4\tau }=0,025$ : c'est la valeur trouvée. Sur un palier haut, $u\approx E/2$, donc $\dot{u}=\frac{E-u}{\tau }\approx +\frac{E}{2\tau }$ ; sur un palier bas, $\dot{u}\approx -\frac{E}{2\tau }$. La tension est un triangle de pente $\pm E/(2\tau )$ : sa pente est proportionnelle à $e-⟨e⟩$, c'est-à-dire que $u$ est, à une constante près, une primitive de $e$. Le circuit RC à haute fréquence se comporte en intégrateur — on le retrouvera au chapitre sur le filtrage.

5) La valeur moyenne. En régime établi, $u$ est périodique : sa variation sur une période est nulle, donc la charge du condensateur aussi, et la valeur moyenne du courant $i=C\dot{u}$ est nulle. Or $e=Ri+u$ ; en prenant la moyenne, $⟨e⟩=R⟨i⟩+⟨u⟩=⟨u⟩$. Donc $⟨u⟩=⟨e⟩=E/2$ quelle que soit la fréquence. On le vérifie : à $10\mathrm{kHz}$, $u$ est un triangle centré sur $E/2$. (Ce raisonnement, « la moyenne du courant dans un condensateur est nulle en régime périodique », reviendra en électronique de puissance.)

6) La durée du transitoire. Notons ${\epsilon }_k$ l'écart entre la valeur de $u$ au début de la $k$-ième période et $U_{\min }$. D'après le 2), l'application qui fait passer d'un début de période au suivant est affine de coefficient $a^2$ : ${\epsilon }_{k+1}=a^2{\epsilon }_k$, avec $a^2=e^{-T/\tau }$. L'écart est donc multiplié par $e^{-T/\tau }$ à chaque période, c'est-à-dire qu'il décroît comme $e^{-t/\tau }$ : le transitoire dure toujours $\approx 5\tau$, soit $5\tau /T=50$ périodes à $10\mathrm{kHz}$. (Une itération numérique des paliers donne 47 périodes pour arriver à $1\%$ de $U_{\max }$.) La constante de temps du circuit ne change pas parce qu'on l'excite plus vite.

Ce que l'exercice installe. Enchaîner des échelons par continuité ; trouver un régime périodique par auto-cohérence plutôt qu'en suivant le transitoire ; lire les deux comportements limites d'un circuit selon le rapport $T/\tau$ — le signal passe quand il est lent, il est intégré quand il est rapide. C'est le premier contact avec l'idée de filtre, qui organisera tout le chapitre sur le filtrage.