Compenser une charge inductive

La stratégie. En parallèle, la tension est commune et les courants s'ajoutent : c'est la configuration où l'on additionne les admittances. On cherche le condensateur qui annule la partie imaginaire de l'admittance totale, puis on regarde ce que cela change pour la ligne et pour la charge.

1) La charge seule. $L\omega =0,0500\times 100\pi =15,7\Omega$, donc $$\underline{Z}=R+jL\omega =10,0+15,7j,|\underline{Z}|=18,6\Omega ,\arg \underline{Z}=\arctan \frac{15,7}{10,0}=57,5^{\circ }.$$ L'amplitude du courant est $I_m=U_m/|\underline{Z}|=325/18,6=17,5\mathrm{A}$, et le courant est en retard de $57,5^{\circ }$ sur la tension : la charge est inductive.

2) Les admittances. La tension $\underline{U}$ étant la même aux bornes des deux dipôles, la loi des nœuds donne ${\underline{I}}_{\text{ligne}}={\underline{I}}_{\text{charge}}+{\underline{I}}_C=({\underline{Y}}_{\text{charge}}+{\underline{Y}}_C)\underline{U}$ : les admittances en parallèle s'additionnent, comme les impédances en série. Ici $$\underline{Y}=\frac{1}{R+jL\omega }+jC\omega =\frac{R}{R^2+L^2{\omega }^2}+j\left(C\omega -\frac{L\omega }{R^2+L^2{\omega }^2}\right),$$ après avoir multiplié la première fraction par la quantité conjuguée $R-jL\omega$.

3) Le condensateur de compensation. Le courant de ligne est en phase avec $u$ si et seulement si $\underline{Y}$ est réel, c'est-à-dire si sa partie imaginaire est nulle : $$C=\frac{L}{R^2+L^2{\omega }^2}=\frac{0,0500}{100+246,7}=1,44\times 10^{-4}\mathrm{F}=144\mu \mathrm{F}.$$ Homogénéité : $L/R^2$ s'exprime en henrys par ohm carré ; or un henry est un ohm-seconde, et un ohm-seconde par ohm carré donne des secondes par ohm, c'est-à-dire des farads. Le résultat a la bonne dimension. L'ordre de grandeur est celui d'une batterie de condensateurs industriels, tenant plus de $325\mathrm{V}$ : c'est bien ce qu'on installe dans les ateliers.

4) Les trois courants. Avec ce condensateur, $\underline{Y}=R/(R^2+L^2{\omega }^2)$, donc $$I_{\text{ligne}}=\frac{U_{m}R}{R^2+L^2{\omega }^2}=\frac{325\times 10,0}{346,7}=9,37\mathrm{A}.$$ Le courant dans la charge n'a pas changé : elle est toujours sous la même tension, donc $I_{\text{charge}}=17,5\mathrm{A}$. Le courant dans le condensateur vaut $I_C=U_{m}C\omega =14,7\mathrm{A}$.

Le courant de ligne est plus petit que celui de la charge : la loi des nœuds porte sur les grandeurs complexes, pas sur les amplitudes. Dans le diagramme de Fresnel, prenons $\underline{U}$ horizontal. Le courant de la charge est un vecteur de longueur $17,5$ incliné de $57,5^{\circ }$ vers le bas ; il a une composante horizontale $17,5\cos 57,5^{\circ }=9,37\mathrm{A}$, en phase avec $u$, et une composante verticale de $14,7\mathrm{A}$ vers le bas. Le courant du condensateur est en avance de $90^{\circ }$ : un vecteur vertical de $14,7\mathrm{A}$ vers le haut. Leur somme est le vecteur horizontal de $9,37\mathrm{A}$. La partie « en quadrature » du courant de la charge ne transite plus par la ligne : elle fait l'aller-retour entre le condensateur et la bobine, sur quelques mètres.

5) Le bilan. Les pertes dans la ligne, proportionnelles à $I_m^2$, sont divisées par $${\left(\frac{17,5}{9,37}\right)}^2=3,5.$$ Les moteurs ne s'en aperçoivent pas : même tension, même courant, même fonctionnement. Le rapport $9,37/17,5=0,537$ vaut exactement $R/|\underline{Z}|=\cos 57,5^{\circ }$ : la compensation ne laisse passer dans la ligne que la composante du courant en phase avec la tension.

Avec $2C$, la partie imaginaire de $\underline{Y}$ vaut $+L\omega /(R^2+L^2{\omega }^2)$ au lieu de $0$ : c'est l'opposée de celle de la charge seule. Le module de $\underline{Y}$ redevient celui de la charge seule : le courant de ligne revient à $17,5\mathrm{A}$, mais en avance de $57,5^{\circ }$. On n'a rien gagné : on a remplacé une charge inductive par une charge capacitive.

Ce que l'exercice installe. En parallèle, on additionne les admittances ; la loi des nœuds en complexe autorise un courant total plus petit que l'un des courants de branche, parce que des courants en quadrature se compensent. Et le raisonnement énergétique passe ici par les pertes Joule de la ligne, proportionnelles au carré de l'amplitude du courant : c'est ce qui justifie, dans l'industrie, de compenser les charges inductives.