Du transitoire au régime forcé : un RC sous tension sinusoïdale

La stratégie. L'équation est linéaire, à coefficients constants, avec un second membre sinusoïdal. Sa solution générale est la somme de la solution générale de l'équation homogène (le transitoire) et d'une solution particulière (le régime forcé). La représentation complexe fournit la seconde sans aucun calcul de dérivée ; la condition initiale fixe la constante du premier.

1) L'équation. La loi des mailles donne $e=u_R+u_C=Ri+u_C$, et la relation du condensateur en convention récepteur est $i=C\frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}$. D'où $$\tau \frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}+u_C=E_m\cos (\omega t),\tau =RC.$$ Homogénéité : $RC$ est bien un temps (des ohms fois des farads donnent des secondes), et chaque terme est une tension.

2) La solution particulière par la représentation complexe. On associe à $u_C$ la grandeur complexe ${\underline{u}}_C(t)={\underline{U}}_C{\mathrm{e}}^{j\omega t}$, avec ${\underline{U}}_C=U_{Cm}{\mathrm{e}}^{j\phi }$, et à $e$ la grandeur $E_m{\mathrm{e}}^{j\omega t}$. L'équation étant linéaire et à coefficients réels, si la grandeur complexe la vérifie, sa partie réelle la vérifie aussi. La dérivation devient une multiplication par $j\omega$ : $$(1+j\omega \tau ){\underline{U}}_C=E_m\text{donc}{\underline{U}}_C=\frac{E_m}{1+j\omega \tau }.$$ On lit le module et l'argument : $$U_{Cm}=\frac{E_m}{\sqrt{1+{\omega }^2{\tau }^2}},\phi =-\arctan (\omega \tau ).$$ L'argument est bien donné par l'arc tangente sans ajout de $\pi$, parce que la partie réelle du dénominateur, $1$, est positive : $\phi$ est compris entre $-\pi /2$ et $0$. La tension du condensateur est en retard sur celle de la source.

Vérification en grandeurs réelles. Posons $u_C=U_{Cm}\cos (\omega t+\phi )$. Alors $\tau \frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}+u_C=U_{Cm}[\cos (\omega t+\phi )-\omega \tau \sin (\omega t+\phi )]$. Introduisons l'angle $\psi$ tel que $\cos \psi =1/\sqrt{1+{\omega }^2{\tau }^2}$ et $\sin \psi =\omega \tau /\sqrt{1+{\omega }^2{\tau }^2}$, c'est-à-dire $\psi =\arctan (\omega \tau )=-\phi$. Le crochet vaut $\sqrt{1+{\omega }^2{\tau }^2}\cos (\omega t+\phi +\psi )=\sqrt{1+{\omega }^2{\tau }^2}\cos (\omega t)$, et le tout vaut $U_{Cm}\sqrt{1+{\omega }^2{\tau }^2}\cos (\omega t)=E_m\cos (\omega t)$. La solution est juste ; mais il a fallu une formule trigonométrique là où la représentation complexe n'a demandé qu'une division.

3) Les valeurs. $\omega =2\pi f=6,28\times 10^3\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ et $\tau =10^3\times 10^{-7}=1,0\times 10^{-4}\mathrm{s}$, d'où $\omega \tau =0,628$. Alors $\sqrt{1+{\omega }^2{\tau }^2}=1,181$, $$U_{Cm}=\frac{5,0}{1,181}=4,23\mathrm{V},\phi =-\arctan (0,628)=-32,1^{\circ }.$$ Le courant s'obtient par $\underline{I}=jC\omega {\underline{U}}_C$ : multiplier par $j$, c'est tourner de $+90^{\circ }$. Donc $$I_m=C\omega U_{Cm}=\frac{E_m}{R}\frac{\omega \tau }{\sqrt{1+{\omega }^2{\tau }^2}}=2,66\mathrm{mA},\arg \underline{I}=90^{\circ }-32,1^{\circ }=+57,9^{\circ }.$$ Le courant est en avance de $57,9^{\circ }$ sur la force électromotrice : le dipôle RC série est capacitif. Contrôle : $u_R$ et $u_C$ sont en quadrature, et $\sqrt{(R{I}_m{)}^2+U_{Cm}^2}=\sqrt{2,66^2+4,23^2}=5,0\mathrm{V}=E_m$. Le triangle de Fresnel se referme.

4) La solution complète et la continuité. La solution générale de l'équation homogène est $A{\mathrm{e}}^{-t/\tau }$. La solution complète s'écrit donc $$u_C(t)=A{\mathrm{e}}^{-t/\tau }+U_{Cm}\cos (\omega t+\phi ).$$ La constante $A$ se fixe sur la solution complète, jamais sur la solution forcée seule : c'est le point délicat. La tension aux bornes d'un condensateur est continue (l'énergie $\frac{1}{2}C{u}_C^2$ ne peut pas varier instantanément avec un courant fini), donc $u_C(0^{+})=u_C(0^{-})=0$, soit $$A+U_{Cm}\cos \phi =0,A=-U_{Cm}\cos \phi =-4,23\times 0,847=-3,58\mathrm{V}.$$ La solution forcée seule vaudrait $3,58\mathrm{V}$ en $t=0$ : elle ne respecte pas la condition initiale, c'est le transitoire qui raccorde.

Le terme transitoire devient inférieur à $1\%$ de $U_{Cm}$ quand $|A|{\mathrm{e}}^{-t/\tau }<0,01U_{Cm}$, c'est-à-dire $$t>\tau \ln \frac{|A|}{0,01U_{Cm}}=\tau \ln (84,7)=4,4\tau =0,44\mathrm{ms}.$$ La période vaut $T=1,0\mathrm{ms}$ : le transitoire est oublié en moins d'une période. C'est ce qui justifie, en pratique, de ne s'intéresser qu'au régime forcé. Une intégration numérique de l'équation différentielle, menée indépendamment, redonne la même courbe que cette solution analytique à toutes les dates.

5) Les deux limites, lues sur les impédances. Le diviseur de tension en complexe s'écrit ${\underline{U}}_C=E_m\frac{{\underline{Z}}_C}{R+{\underline{Z}}_C}$ avec $|{\underline{Z}}_C|=1/(C\omega )$, et $\omega \tau =R/|{\underline{Z}}_C|$ compare les deux impédances.

Si $\omega \tau \ll 1$, l'impédance du condensateur est très grande devant $R$ : il se comporte comme un interrupteur ouvert, aucun courant notable ne circule, la résistance ne prélève presque rien, et $U_{Cm}\simeq E_m$, $\phi \simeq 0$. Le condensateur suit la source.

Si $\omega \tau \gg 1$, le condensateur se comporte presque comme un fil : $U_{Cm}\simeq E_m/(\omega \tau )$ est petit, et $\phi \to -\pi /2$. Dans cette limite, l'équation se réduit à $\tau \frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}\simeq e$ : le circuit intègre la tension d'entrée. Le chapitre sur le filtrage reprendra ce comportement sous le nom d'intégrateur ; il est déjà là.

Ce que l'exercice installe. La représentation complexe donne la solution particulière, et elle seule ; les conditions initiales se traitent en revenant au réel, sur la solution complète, par continuité de $u_C$ (ou de $i_L$ pour une bobine). On retiendra aussi l'ordre de grandeur : quelques $\tau$ suffisent pour oublier le transitoire d'un premier ordre, et l'on comparera toujours $\tau$ à la période. Enfin, les limites $\omega \tau \ll 1$ et $\omega \tau \gg 1$ se lisent en remplaçant le condensateur par un interrupteur ouvert ou par un fil, avant tout calcul.