électricité (PCSI) · Chapitre 5 · Application directe du cours

La recharge sans fil par résonance

Régime sinusoïdal forcé, impédances et résonance · niveau 2

Énoncé

Un chargeur sans fil (norme Qi) comporte une bobine émettrice parcourue par un courant sinusoïdal $i_{1} (t)$ d'amplitude $I_{1} = 1.0 A$ et de fréquence $f_{0} = 150 k Hz$ . On admet (c'est l'objet du chapitre sur l'induction) que ce courant fait apparaître dans la bobine réceptrice du téléphone une force électromotrice $e_{2} = - M \frac{d i _{1}}{d t}$ , où $M = 3.0 μ H$ , l'inductance mutuelle, dépend de la position relative des deux bobines. Le circuit récepteur est un RLC série : bobine $L_{2} = 10 μ H$ , condensateur $C_{2}$ et résistance totale $R_{2} = 1.0 Ω$ , charge comprise.

Exprimer l'amplitude complexe $E_{2}$ en fonction de $I_{1}$ et calculer son amplitude.
Quelle capacité $C_{2}$ accorde le récepteur sur $f_{0}$ ? Calculer alors l'amplitude $I_{2}$ du courant reçu et la comparer à celle qu'on obtiendrait sans condensateur.
Que se passe-t-il si le téléphone est mal posé : récepteur désaccordé de $5 %$ , ou bobines plus éloignées ( $M$ divisé par deux) ?
Pourquoi travailler à des centaines de kilohertz, et pas en continu ?

Corrigé

1. La dérivation devient une multiplication par $j ω$ : $E_{2} = - j M ω I_{1}$ , d'amplitude $E_{2} = M ω I_{1} = 3, 0 \times 1 0^{- 6} \times 2 π \times 1, 5 \times 1 0^{5} \times 1, 0 = 2.8 V$ .

2. Accord : $C_{2} = \frac{1}{ω _{0}^{2} L _{2}} = 113 nF$ . À la résonance, l'impédance du récepteur se réduit à $R_{2}$ et $I_{2} = E_{2} / R_{2} = 2.8 A$ . Sans condensateur, l'impédance serait $∣ R_{2} + j L_{2} ω_{0} ∣ = 1 + 9, 4^{2} = 9.5 Ω$ et $I_{2} = 0.30 A$ : l'accord multiplie le courant reçu par le facteur de qualité du récepteur, $Q_{2} = L_{2} ω_{0} / R_{2} = 9, 4$ .

3. Désaccord de $5 %$ ( $x = ω / ω_{0} = 1, 05$ ou $0, 95$ ) : le courant est multiplié par $1/ 1 + Q_{2}^{2} (x - 1/ x)^{2} \approx 0, 72$ à $0, 74$ . Bobines éloignées : $E_{2}$ , donc $I_{2}$ , est divisé par deux. Dans les deux cas la recharge ralentit ; elle cesse si le couplage devient trop faible.

4. La force électromotrice est proportionnelle à $d i_{1} / d t$ , donc à $ω$ : en continu elle est nulle, et à $50 Hz$ elle ne vaudrait que $0.9 mV$ avec les mêmes bobines. Il faut une haute fréquence pour induire une tension utile avec de petites bobines.

100 % gratuit

La suite du chapitre est sur Adloun

17 autres exercices corrigés dans ce chapitre, et 8 à chercher avec le tuteur
Les 2 QCM du chapitre, le premier sans compte
Le podcast et la vidéo du chapitre et la correction filmée du TD : 2 minutes sans compte
Le tuteur, qui guide pas à pas sans donner la réponse

Exercice suivant et tuteur

Sans compte : le cours, le premier QCM et 2 minutes de podcast et de vidéo. Exercices et tuteur : inscription gratuite en 30 secondes, sans carte bancaire.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Exercice suivant et tuteur →