électricité (PCSI) · Chapitre 5 · Exercice de TD

La sonde d'oscilloscope compensée

Régime sinusoïdal forcé, impédances et résonance · B. Les impédances complexes · niveau 3 (difficile)

Énoncé

L'entrée d'un oscilloscope équivaut à une résistance $R_{2} = 1, 0 MΩ$ en parallèle avec une capacité $C_{2} = 20 pF$ (câble compris), entre la borne d'entrée et la masse. Une sonde « $\times 10$ » intercale, entre le point mesuré et cette entrée, une résistance $R_{1} = 9, 0 MΩ$ en parallèle avec un condensateur ajustable $C_{1}$ . La tension mesurée $u_{e}$ est donc appliquée à deux dipôles en série : le dipôle $(R_{1} ∥ C_{1})$ de la sonde, puis le dipôle $(R_{2} ∥ C_{2})$ de l'oscilloscope, aux bornes duquel l'appareil lit $u_{osc}$ .

1) Sans calcul, en considérant les condensateurs comme des coupures puis comme des fils, donner le rapport $H = U_{osc} / U_{e}$ en très basse puis en très haute fréquence.

2) Établir $H$ en fonction des impédances $Z_{k} = \frac{R _{k}}{1 + j R _{k} C _{k} ω}$ . Montrer que $H$ est indépendant de la fréquence si et seulement si $R_{1} C_{1} = R_{2} C_{2}$ . Calculer $C_{1}$ .

3) On envoie un signal créneau. Décrire l'allure observée lorsque $C_{1}$ est trop faible ( $1, 5 pF$ ) puis trop forte ( $3, 0 pF$ ), en raisonnant sur les fronts (haute fréquence) et les paliers (basse fréquence).

4) On observe la tension de sortie d'un montage de résistance de sortie $R_{s} = 10 kΩ$ (générateur de Thévenin). Sans sonde, l'entrée de l'oscilloscope forme avec $R_{s}$ un passe-bas : estimer sa fréquence de coupure. Avec la sonde compensée, quelle impédance le montage voit-il ? Nouvelle fréquence de coupure ? Conclure.

Corrigé

La stratégie. C'est un diviseur de tension complexe : deux impédances en série parcourues par le même courant (l'oscilloscope ne prélève rien d'autre que ce qui traverse $R_{2} ∥ C_{2}$ ). On lit d'abord les deux limites sans calcul, puis on écrit le diviseur, puis on interprète.

1) Les deux limites. En très basse fréquence, les condensateurs sont des coupures : il reste le diviseur résistif, $H = \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}} = \frac{1}{10}$ . En très haute fréquence, les impédances $1/ (j C_{k} ω)$ deviennent petites devant les résistances, qui sont alors court-circuitées par les condensateurs : il reste un diviseur capacitif, $H = \frac{1/ ( j C _{2} ω )}{1/ ( j C _{1} ω ) + 1/ ( j C _{2} ω )} = \frac{C _{1}}{C _{1} + C _{2}}$ . Les deux limites n'ont aucune raison d'être égales ; si elles diffèrent, la sonde déforme le signal.

2) Le diviseur. $H = \frac{Z _{2}}{Z _{1} + Z _{2}} = \frac{1}{1 + Z _{1} / Z _{2}}$ , avec $\frac{Z _{1}}{Z _{2}} = \frac{R _{1}}{R _{2}} \cdot \frac{1 + j R _{2} C _{2} ω}{1 + j R _{1} C _{1} ω} .$ Si $R_{1} C_{1} = R_{2} C_{2}$ , la seconde fraction vaut $1$ pour tout $ω$ , et $H = R_{2} / (R_{1} + R_{2})$ est réel et constant. Réciproquement, si $H$ ne dépend pas de $ω$ , ses limites en basse et en haute fréquence sont égales : $\frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}} = \frac{C _{1}}{C _{1} + C _{2}}$ , c'est-à-dire $R_{1} / R_{2} = C_{2} / C_{1}$ , soit $R_{1} C_{1} = R_{2} C_{2}$ . La condition est nécessaire et suffisante : $C_{1} = \frac{R _{2} C _{2}}{R _{1}} = \frac{1 , 0 \times 1 0 ^{6} \times 20 \times 1 0 ^{- 12}}{9 , 0 \times 1 0 ^{6}} = 2, 2 pF .$

3) Le réglage au créneau. Les fronts d'un créneau sont faits de hautes fréquences, ses paliers de basses fréquences. Avec $C_{1} = 1, 5 pF$ , le front est transmis avec le rapport $1, 5/21, 5 = 0, 070$ et le palier avec $0, 100$ : à chaque front, la tension observée ne fait que $70 %$ du saut, puis rejoint lentement le palier — des angles arrondis (sonde sous-compensée). Avec $C_{1} = 3, 0 pF$ , le front est transmis avec $3, 0/23 = 0, 130$ : la tension saute à $130 %$ du palier puis redescend — des pointes sur chaque front (sonde surcompensée). Le retour vers le palier se fait avec la constante de temps $(R_{1} ∥ R_{2}) (C_{1} + C_{2}) \approx 0, 9 MΩ \times 22 pF \approx 20 μ s$ , bien visible sur le créneau de calibration d'un kilohertz que fournit tout oscilloscope. On tourne la vis de $C_{1}$ jusqu'à obtenir des angles droits.

4) Le prix et le bénéfice. Sans sonde, la source de résistance $R_{s}$ débite dans $R_{2} ∥ C_{2}$ : c'est un circuit RC passe-bas dont la résistance vaut $R_{s} ∥ R_{2} ≃ 9, 9 kΩ$ , et sa fréquence de coupure est $f_{c} = \frac{1}{2 π ( R _{s} ∥ R _{2} ) C _{2}} = \frac{1}{2 π \times 9 , 9 \times 1 0 ^{3} \times 20 \times 1 0 ^{- 12}} = 0, 80 MHz .$ Un signal de quelques mégahertz serait déformé par la seule présence de l'appareil. Avec la sonde compensée, l'ensemble sonde et oscilloscope est une résistance $R_{1} + R_{2} = 10 MΩ$ en parallèle avec la capacité $C_{1} C_{2} / (C_{1} + C_{2}) = 2, 0 pF$ (deux condensateurs en série). Le montage voit dix fois moins de capacité et dix fois plus de résistance ; la coupure passe à $f_{c} = 1/ (2 π R_{s} C^{'}) = 8, 0 MHz$ . Le prix : un signal divisé par dix, qu'il faudra lire avec un calibre dix fois plus sensible.

Ce que l'exercice installe. Le diviseur de tension vaut en complexe ; ses limites se lisent sans calcul en remplaçant les condensateurs par des coupures ou par des fils. Un dispositif linéaire ne déforme pas un signal si son rapport de transfert est le même pour toutes les fréquences présentes : c'est l'idée centrale du chapitre sur le filtrage. Et la mesure perturbe le circuit mesuré : l'impédance d'entrée de l'appareil fait partie du montage.

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