Le circuit bouchon

La stratégie. Deux branches en parallèle : on additionne les admittances. On commence par le cas idéal, où tout se lit, puis on mesure l'effet de la résistance de la bobine, qui borne l'impédance maximale.

1) Le bouchon idéal. ${\underline{Y}}_b=\frac{1}{jL\omega }+jC\omega =\frac{1-LC{\omega }^2}{jL\omega }$, donc

$${\underline{Z}}_b=\frac{jL\omega }{1-LC{\omega }^2}.$$

Le dénominateur s'annule pour ${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$ : l'impédance est infinie, alors que celle du RLC série y est minimale. Pour $f_0=50\mathrm{Hz}$, $C=1/({\omega }_0^{2}L)=1/((100\pi {)}^2\times 1,0)=10,1\mu \mathrm{F}$.

En dessous de ${\omega }_0$, $1-LC{\omega }^2>0$ et ${\underline{Z}}_b$ est un imaginaire pur positif : le bouchon est inductif (c'est la bobine, d'impédance plus faible, qui impose sa loi). Au-dessus, il est capacitif. Sans calcul : en continu la bobine est un fil, qui court-circuite le condensateur, donc ${\underline{Z}}_b\to 0$ ; en très haute fréquence c'est le condensateur qui est un fil, donc ${\underline{Z}}_b\to 0$ encore. Le bouchon ne présente une grande impédance qu'au voisinage de ${\omega }_0$.

2) L'effet de la résistance de la bobine. Avec $C=10,1\mu \mathrm{F}$, $f_0=50,1\mathrm{Hz}$ et $Q=L{\omega }_0/r=315/20=15,7$. Notons $X=L{\omega }_0=1/(C{\omega }_0)$. En ${\omega }_0$,

$$\begin{array}{rl}{\underline{Y}}_b& =\frac{1}{r+jX}+\frac{j}{X}\\ & =\frac{r-jX}{r^2+X^2}+\frac{j}{X}\\ & =\frac{r}{r^2+X^2}+j\frac{r^2}{X(r^2+X^2)}.\end{array}$$

Pour $Q=X/r\gg 1$, $r^2+X^2\simeq X^2$, la partie imaginaire est $Q$ fois plus petite que la partie réelle, et ${\underline{Y}}_b\simeq r/X^2$. Donc

$$|{\underline{Z}}_b({\omega }_0)|\simeq \frac{X^2}{r}=\frac{L}{rC}=Q^{2}r=4,95\mathrm{k\Omega }.$$

Le calcul exact donne $4,96\mathrm{k\Omega }$ : l'approximation est à $0,2\%$. La résistance de $20\Omega$ de la bobine est « vue » par le reste du circuit comme une résistance de près de $5\mathrm{k\Omega }$ : $Q^2=247$ fois plus grande. Plus la bobine est bonne, plus le bouchon bouche.

3) La surintensité. Le courant total vaut $U/|{\underline{Z}}_b|\simeq UrC/L$ ; le courant dans le condensateur vaut $UC{\omega }_0$. Leur rapport est

$$\frac{I_C}{I_{\text{total}}}\simeq \frac{C{\omega }_{0}L}{rC}=\frac{L{\omega }_0}{r}=Q=15,7.$$

Le courant qui circule dans le bouchon, de la bobine au condensateur et retour, est $Q$ fois plus grand que celui qui le traverse. C'est le pendant, pour le montage parallèle, de la surtension du RLC série qu'établira le problème.

4) Le bouchon en série devant une charge. Le bouchon et la charge forment un diviseur de tension : la fraction transmise est $\left|\frac{R_u}{R_u+{\underline{Z}}_b}\right|$, avec l'impédance complète ${\underline{Z}}_b=\frac{1}{1/(r+jL\omega )+jC\omega }$. Les valeurs, calculées numériquement :

En continu, le bouchon se réduit à $r$, d'où $100/120=0,83$. À $50\mathrm{Hz}$, le ronflement est divisé par $50$. Mais à $100\mathrm{Hz}$, l'impédance du bouchon, déjà retombée à $210\Omega$, n'est plus grande devant $R_u$ : $57\%$ de l'amplitude est encore perdue. Il faut monter au kilohertz pour retrouver une transmission complète. La largeur de la coupure est réglée par la comparaison entre $|{\underline{Z}}_b|$ et $R_u$ : une même cellule coupe plus ou moins large selon la charge qu'elle alimente. Avec une charge de plus grande résistance, seule l'étroite zone où $|{\underline{Z}}_b|\gg R_u$ serait coupée : la coupure serait plus étroite, mais aussi moins profonde (avec $R_u=1\mathrm{k\Omega }$, le ronflement ne serait plus divisé que par six).

Ce que l'exercice installe. L'association parallèle se traite par les admittances, et elle fait le contraire de l'association série : impédance maximale à la résonance, surintensité au lieu de surtension. Les comportements limites se lisent sans calcul. Et l'effet d'un filtre dépend de ce qui le suit : un diviseur de tension se calcule avec la charge réelle.